«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2024 год

1. Решите уравнение \[ \frac{1}{|x|} - \frac{5}{5|x| - x^2} = \frac{|x| - 3}{5 - |x|}. \]
2. От \(A\) до \(B\) по течению катер проходит в \(1,5\) раза медленнее, чем теплоход, причём за каждый час катер отстаёт от теплохода на \(8\) км. Против течения от \(B\) до \(A\) теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найдите их скорости в стоячей воде.
3. Вычислите \[ \sqrt{\frac{11 - 6\sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}}\;\Bigl(\frac{28}{2\sqrt{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{2} - 1}\Bigr). \]
4. Постройте график функции \[ y = \frac{-0{,}5x^2 + 2{,}5x - 2}{x - 1}. \]
5. Найти область определения функции \[ y = \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{x - 5}{x^2 - x - 6}}. \]
6. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ (a - 1)x^2 + (a - 1)x - a = 0 \] имеет хотя бы один корень?
7. Докажите, что можно построить треугольник, состоящий из медиан данного треугольника.
8. В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(B\) делит сторону \(AC\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(A\). Из точки \(K\) на сторону \(AB\) опустили перпендикуляр \(KH = 1\). Найдите периметр треугольника \(BCK\), если \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = 2\sqrt{3}\).
9. В окружности радиусом \(10\) провели две хорды \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(P\), где \(AP = 3\), \(PB = 4\), \(PD = 2\). Найдите отношение квадратов расстояний от центра окружности до этих хорд.
10. В ромбе \(ABCD\) (\(\angle ABC < 60^\circ\)) на стороне \(BC\) выбрана точка \(K\) такая, что \(\angle ABC = \angle KAC\). Точка \(K\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(6\) и \(2\), считая от \(B\). Найдите длину большей диагонали ромба.

Решения задач

1. Решение уравнения: \(\frac{1}{|x|} - \frac{5}{5|x| - x^2} = \frac{|x| - 3}{5 - |x|}\).
   ОДЗ: \(x \neq 0, \pm 5\).
   Введем замену \(t = |x|\), тогда уравнение примет вид: \[ \frac{1}{t} - \frac{5}{5t - t^2} = \frac{t - 3}{5 - t}. \] После упрощений получаем \(t = 2\), откуда \(x = \pm 2\).
   Проверка в исходном уравнении подтверждает решение.
   Ответ: \(x = \pm 2\).
   
   
2. Задача на движение:
   Пусть скорость теплохода в стоячей воде \(V\), катера — \(v\).
   Из условия получаем систему: \[ \begin{cases} V - v = 8, \\ V + u = 1.5(v + u), \\ V - u = 2(v - u). \end{cases} \] Решая систему, находим \(v = 12 \, \text{км/ч}\), \(V = 20 \, \text{км/ч}\).
   Ответ: скорости катера 12 км/ч, теплохода 20 км/ч.
   
   
3. Вычисление выражения: \[\sqrt{\frac{11 - 6\sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}} \cdot \left(\frac{28}{2\sqrt{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{2} - 1}\right).\]
   Упростим первую часть: \[ \sqrt{\frac{11 - 6\sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}}} = \sqrt{3 - \sqrt{2}}. \] Рационализация второй части даёт: \[ 8\sqrt{2} - 4 - 5\sqrt{2} - 5 = 3\sqrt{2} - 9. \] Перемножая, получаем \(-6\).
   Ответ: \(-6\).
   
   
4. График функции: \(y = \frac{-0{,}5x^2 + 2{,}5x - 2}{x - 1}\).
   Упростив выражение, получаем \(y = -0{,}5x + 2 \, (x \neq 1)\).
   График — прямая с выколотой точкой при \(x = 1\).
   Ответ: прямая \(y = -0{,}5x + 2\), исключая \(x = 1\).
   
   
5. Область определения функции: \[ y = \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{x - 5}{x^2 - x - 6}}. \] Учитывая ОДЗ:
   1. \(x \neq 0\);
   2. \(\frac{x - 5}{(x - 3)(x + 2)} \geq 0\).
   Решение: \(x \in (-\infty, -2) \cup [5, \infty)\).
   Ответ: \((-\infty, -2) \cup [5, \infty)\).
   
   
6. Квадратное уравнение с параметром: \[ (a - 1)x^2 + (a - 1)x - a = 0. \] При \(a = 1\) уравнение не имеет корней. Для \(a \neq 1\) дискриминант \(D = (a - 1)(5a - 1) \geq 0.\) Решение: \(a \in (-\infty, \frac{1}{5}] \cup (1, \infty)\).
   Ответ: \(a \leq \frac{1}{5}\) или \(a > 1\).
   
   
7. Построение треугольника из медиан:
   Используя свойства медиан, доказываем, что их длины удовлетворяют неравенствам треугольника.
   Ответ: Треугольник можно построить из медиан любого треугольника.
   
   
8. Геометрическая задача (периметр):
   Используя условия задачи, находим стороны и углы треугольника \(BCK\), применяя теоремы синусов и косинусов.
   Ответ: Периметр равен \(12\sqrt{3} - 4\).
   
   
9. Отношение расстояний до хорд:
   Используем теорему о произведении отрезков хорд и расстояние от центра до хорды.
   Ответ: Отношение квадратов расстояний \(\frac{117}{112}\).
   
   
10. Ромб и большая диагональ:
    Применяем свойства ромба и теорему косинусов для нахождения диагонали.
    Ответ: Большая диагональ равна \(8\sqrt{3}\).