8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 8 в 9 класс 2025 год

Сложность:
Дата экзамена: 12.04.2025
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©
АНОО «Физтех‑лицей» им. П.Л. Капицы
Вступительный экзамен по математике в 9 класс
12 апреля 2025 года




  1. Найдите \[ 61a - 11b + 14\tfrac{1}{3}, \quad \text{если} \quad \frac{2a - 7b + 5}{7a - 2b + 5} = 9. \]

  2. Решите уравнение:
    1. $(x + 12)^2 = 48x$;
    2. $\displaystyle \frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$.


  3. Постройте график функции \[ y = -x^2 + 4|x| + 4. \]

  4. Сплав, состоящий из меди и никеля, весит 2 кг, при этом вес никеля составляет $14\tfrac{2}{3}\%$ от веса меди. Сколько килограммов никеля в сплаве?

    1. Какие значения принимает $M$, если \[ M = \frac{10}{x^2 + 10x + 45}\,? \]
    2. Решите неравенство \[ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 + 4x + 5} \le 0. \]


  6. При каких значениях параметра $m$ корни уравнения являются противоположными числами? Найдите значение $m$ и сами корни: \[ x^2 + (m^2 - 16)x - 3 + m = 0. \]

  7. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CE$. Найдите отношение, в котором отрезок $EK$ делит площадь треугольника, если угол $\angle ABC = 60^\circ$.

  8. Окружность радиуса 4 разделена точками $A,B,C$ на дуги, угловые величины которых относятся как $1:2:3$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

  9. Углы при основах трапеции дают в сумме $90^\circ$. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен половине разности оснований.

  10. Найдите такое натуральное $n$, что $357!$ делится на $17^n$, но не делится на $17^{n+1}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите $61a - 11b + 14\tfrac{1}{3}$, если $\frac{2a - 7b + 5}{7a - 2b + 5} = 9$.
    Решение:
    $\frac{2a - 7b + 5}{7a - 2b + 5} = 9$
    $2a - 7b + 5 = 9(7a - 2b + 5)$
    $2a - 7b + 5 = 63a - 18b + 45$
    $-61a + 11b - 40 = 0$
    $61a - 11b = -40$
    Подставляем в выражение:
    $61a - 11b + 14\tfrac{1}{3} = -40 + \frac{43}{3} = -\frac{120}{3} + \frac{43}{3} = -\frac{77}{3} = -25\tfrac{2}{3}$
    Ответ: $-25\tfrac{2}{3}$.
  2. Решите уравнение:
    1. $(x + 12)^2 = 48x$
      Решение:
      $x^2 + 24x + 144 = 48x$
      $x^2 - 24x + 144 = 0$
      $D = 24^2 - 4 \cdot 144 = 0$
      $x = \frac{24}{2} = 12$
      Ответ: 12.
    2. $\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$
      Решение:
      Пусть $y = \frac{1}{x - 2}$:
      $y^2 - y - 6 = 0$
      $y = 3$ или $y = -2$
      Возвращаем замену:
      $x - 2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
      $x - 2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
      Ответ: $\frac{7}{3}$ и $\frac{3}{2}$.
  3. Постройте график функции $y = -x^2 + 4|x| + 4$.
    Решение:
    При $x \geq 0$: $y = -x^2 + 4x + 4$, вершина в $(2, 8)$.
    При $x < 0$: $y = -x^2 - 4x + 4$, вершина в $(-2, 8)$.
    Точки пересечения с осью OX:
    $x = 2 \pm 2\sqrt{2}$ (для $x \geq 0$), $x = -2 \pm 2\sqrt{2}$ (для $x < 0$).
    График симметричен относительно оси OY, ветви направлены вниз.
    Ответ: график построен.
  4. Сплав весит 2 кг. Вес никеля составляет $14\tfrac{2}{3}\%$ от меди. Сколько кг никеля?
    Решение:
    Пусть масса меди $m$ кг. Тогда масса никеля:
    $n = \frac{44}{3}% \cdot m = \frac{11}{75}m$
    $m + \frac{11}{75}m = 2$
    $\frac{86}{75}m = 2 \Rightarrow m = \frac{150}{86} = \frac{75}{43}$ кг
    Масса никеля:
    $n = \frac{11}{75} \cdot \frac{75}{43} = \frac{11}{43}$ кг
    Ответ: $\frac{11}{43}$ кг.
    1. Какие значения принимает $M = \frac{10}{x^2 + 10x + 45}$?
      Решение:
      Знаменатель: $x^2 +10x +45 = (x+5)^2 +20 \geq 20$
      $M_{\text{max}} = \frac{10}{20} = 0.5$, $M \in (0; 0.5]$
      Ответ: $M \in (0; 0.5]$.
    2. Решите неравенство $\frac{x^2 -7x +12}{x^2 +4x +5} \leq 0$.
      Решение:
      Числитель: $x^2 -7x +12 = (x-3)(x-4)$
      Знаменатель всегда положителен ($x^2+4x+5 >0$)
      Неравенство равносильно: $(x-3)(x-4) \leq 0 \Rightarrow x \in [3;4]$
      Ответ: $[3;4]$.
  6. Найдите $m$ и корни уравнения, если они противоположны: $x^2 + (m^2 - 16)x -3 +m =0$
    Решение:
    Корни $\alpha$ и $-\alpha$. Сумма корней:
    $\alpha - \alpha = -(m^2 -16) \Rightarrow m^2 =16 \Rightarrow m = \pm4$
    Произведение корней:
    $-\alpha^2 = -3 + m \Rightarrow \alpha^2 = 3 -m$
    При $m =4$: $\alpha^2 = -1$ — нет корней.
    При $m =-4$: $\alpha^2 =7 \Rightarrow \alpha = \pm\sqrt{7}$
    Ответ: $m = -4$, корни $\pm\sqrt{7}$.
  7. Отношение площади треугольника при делении отрезком $EK$.
    Решение:
    Точки $E$ и $K$ — основания высот. Угол $B = 60^\circ$
    $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin60^\circ$
    Отношение $S_{\triangle KBE} : S_{\triangle KBCE} = 3:5$
    Ответ: $3:5$.
  8. Стороны треугольника $ABC$ при делении окружности.
    Решение:
    Центральные углы: $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$. Стороны:
    $AB = 2 \cdot4\sin30^\circ =4$,
    $BC = 2 \cdot4\sin60^\circ =4\sqrt3$,
    $AC = 2 \cdot4\sin90^\circ=8$
    Ответ: $4$, $4\sqrt{3}$, $8$.
  9. Доказательство для трапеции.
    Решение:
    Середины оснований — $M$ и $N$. Средняя линия $MN = \frac{AD + BC}{2}$.
    По условию сумма углов при основаниях $90^\circ$, что позволяет доказать, что $MN = \frac{AD - BC}{2}$ через прямоугольные треугольники.
  10. Найдите $n$ для делимости $357!$ на $17^n$.
    Решение:
    Находим количество множителей 17 в $357!$:
    $\left[\frac{357}{17}\right] + \left[\frac{357}{17^2}\right] = 21 +1 =22$
    Ответ: $n=22$.
Материалы школы Юайти