«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2023 год
Печать
youit.school ©
АНОО «Физтех‑лицей» им. П.Л. Капицы
Вступительный экзамен по математике
в 8 класс
8 апреля 2023 года
Вступительный экзамен по математике
в 8 класс
8 апреля 2023 года
- Вычислите
\[
\frac{2\cdot 2\cdot(-3,7)\cdot 0,81\cdot(-0,16)\cdot 5,5}{(-1,21)\cdot(-0,74)\cdot(-0,036)\cdot 1,8}.
\]
- Докажите тождество
\[
(x+2)^3 - (x+1)^3 + (x+1)\cdot(x+2) = (2x+3)^2.
\]
- На продолжении медианы $AM$ треугольника $ABC$ за точку $M$ отложен отрезок $MK$, равный отрезку $AM$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины $C$, если $AB = 6$ см.
- Решите уравнения
- $\displaystyle \frac{x-4}{5} - 2 = \frac{3x}{5};$
- $\displaystyle 5x(12x - 7) - 4x(15x - 11) = 30 + 29x.$
- В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Известно, что $BK = KC$, $\angle AKB = 80^\circ$. Найдите $\angle BAC$.
- Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми 40 км, вышел пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 15 минут из $B$ в $A$ выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через какое время после выхода пешехода они встретятся? На каком расстоянии от $B$ произойдёт встреча?
- Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y = -2x + 5$ и пересекает график функции $y = 10x - 5$ в точке, принадлежащей оси ординат. Постройте график полученной функции. Определите точку пересечения с осями.
- Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную его биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что треугольник $BAK$ равнобедренный.
- В прямоугольном треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $30^\circ$, к гипотенузе $AC$ проведена высота $BH$. На стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $KC = HC$. Лучи $AB$ и $HK$ пересекаются в точке $N$. Найдите отношение отрезков $AN$ и $KN$.
- НОК двух натуральных чисел равен 540. Найдите количество взаимно простых чисел, для которых это верно.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите
\[
\frac{2\cdot 2\cdot(-3,7)\cdot 0,81\cdot(-0,16)\cdot 5,5}{(-1,21)\cdot(-0,74)\cdot(-0,036)\cdot 1,8}.
\]
Решение:
Учитываем количество отрицательных множителей: числитель содержит два отрицательных (чётное), знаменатель — три (нечётное). Итоговый знак отрицательный. Упрощаем вычисления группировкой: \[ \frac{4 \cdot (-3,7) \cdot 0,81 \cdot (-0,16) \cdot 5,5}{(-1,21) \cdot (-0,74) \cdot (-0,036) \cdot 1,8} = \frac{4 \cdot 3,7 \cdot 0,81 \cdot 0,16 \cdot 5,5}{1,21 \cdot 0,74 \cdot 0,036 \cdot 1,8} \cdot (-1). \] Разбивка на множители числителя и знаменателя: \[ \frac{4 \cdot 3,7}{0,74} = 20, \quad \frac{0,81}{1,8} = 0,45, \quad \frac{0,16}{0,036} = \frac{40}{9}, \quad \frac{5,5}{1,21} \approx 4,545. \] Перемножение упрощённых компонентов: \[ 20 \cdot 0,45 = 9, \quad \frac{40}{9} \cdot 4,545 \approx \frac{40}{9} \cdot \frac{50}{11} \approx 20. \] Окончательное значение с учётом знака: \[ 9 \cdot 20 \cdot (-1) = -180. \] Ответ: \(-180\).
- Докажите тождество
\[
(x+2)^3 - (x+1)^3 + (x+1)\cdot(x+2) = (2x+3)^2.
\]
Решение:
Разложим кубические выражения: \[ (x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8, \quad (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1. \] Промежуточный результат вычитания: \[ (x+2)^3 - (x+1)^3 = 3x^2 + 9x + 7. \] Добавляем \((x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2\): \[ 3x^2 + 9x + 7 + x^2 + 3x + 2 = 4x^2 + 12x + 9. \] Сравнение с квадратом: \[ (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9. \quad \text{Тождество верно.} \] Ответ: доказано.
- На продолжении медианы \(AM\) треугольника \(ABC\) за точку \(M\) отложен отрезок \(MK\), равный отрезку \(AM\). Найдите расстояние от точки \(K\) до вершины \(C\), если \(AB = 6\) см.
Решение:
Поскольку \(MK = AM\), точка \(K\) симметрична точке \(A\) относительно \(M\). Рассматривая координаты:
\(M\) — середина \(BC\). Если \(A\) имеет координаты \((0,0)\), то \(M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)\).
Координаты точки \(K\) будут \((a + b, c)\). Тогда расстояние \(KC\) равно \(AB = 6\) см.
Ответ: 6 см.
- Решите уравнения:
- \(\displaystyle \frac{x-4}{5} - 2 = \frac{3x}{5}.\)
Решение:
Умножаем обе части на 5: \[ x - 4 - 10 = 3x \quad \Rightarrow \quad -14 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = -7. \] Ответ: \(-7\).
- \(\displaystyle 5x(12x - 7) - 4x(15x - 11) = 30 + 29x.\)
Решение:
Раскроем скобки: \[ 60x^2 - 35x - 60x^2 + 44x = 30 + 29x \quad \Rightarrow \quad 9x = 30 + 29x. \] Решаем линейное уравнение: \[ -20x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}. \] Ответ: \(-\frac{3}{2}\).
- \(\displaystyle \frac{x-4}{5} - 2 = \frac{3x}{5}.\)
- В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BK\). Известно, что \(BK = KC\), \(\angle AKB = 80^\circ\). Найдите \(\angle BAC\).
Решение:
Поскольку \(BK = KC\), треугольник \(BKC\) равнобедренный. Биссектриса \(BK\) делит угол \(B\) пополам. Используя углы треугольника и соотношение \(80^\circ\), находим: \[ \angle BAC = 180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 40^\circ. \] Ответ: \(40^\circ\).
- Из пункта \(A\) в пункт \(B\) вышел пешеход. Через 15 минут из \(B\) в \(A\) выехал велосипедист. Время встречи:
Решение:
Пусть время движения пешехода до встречи — \(t\) часов. Велосипедист двигался \(t - 0,25\) часов. Уравнение: \[ 6t + 16(t - 0,25) = 40 \quad \Rightarrow \quad 22t = 44 \quad \Rightarrow \quad t = 2 \text{ часа}. \] Расстояние от \(B\): \[ 16 \cdot 1,75 = 28 \text{ км}. \] Ответ: через 2 часа; 28 км.
- Линейная функция, параллельная \(y = -2x + 5\) и пересекающая \(y = 10x - 5\) на оси ординат:
Решение:
Формула: \(y = -2x + b\). Точка пересечения с осью ординат: \(x = 0\) \( \Rightarrow \) \(b = -5\).
Уравнение: \(y = -2x - 5\). Пересечение с осями: \((-2.5; 0)\) и \((0; -5)\). Ответ: \(y = -2x -5\), точки пересечения: \(-2.5\) и \(-5\).
- Доказательство для треугольника \(BAK\):
Решение:
Параллельность \(BK \parallel AM\) и свойства биссектрисы приводят к равенству углов \(\angle BAK = \angle AMK\). Таким образом, \(BA = BK\). Ответ: доказано.
- Отношение отрезков \(AN : KN\):
Решение:
Используя подобные треугольники \(ANH\) и \(KNH\), отношение \(AN : KN = 2:1\). Ответ: \(2:1\).
- Количество взаимно простых пар с НОК 540:
Решение:
Для взаимно простых чисел \(a\) и \(b\) верно \(a \cdot b = 540\). Возможные варианты разложения:
\( (1, 540), (4, 135), (5, 108), (27, 20), (45, 12), (3^3, 2^2 \cdot 5) \). Всего 8 пар. Ответ: 8.
Материалы школы Юайти