«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 6 апреля 2024 год.

1. Вычислите \[ (5^4 : 100 - 0{,}5^3 \cdot 10) : 0{,}2^3. \]
2. Найдите наименьшее значение выражения \[ 2x^2 + 12x + 15. \]
3. Решите уравнение \[ x^3 - 3x^2 - 16x + 48 = 0. \]
4. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ a(5 - a)x = a - 5 \] имеет бесконечно много корней.
5. Постройте график функции \[ y = |x + 3| + 2x + 5. \]
6. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер — два, в результате они сделали $90\%$ нужного числа деталей. Во второй день наоборот — мастер работал три часа, а ученик — два часа, и они перевыполнили план на $15\%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
7. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна одной из его сторон, то этот треугольник равнобедренный.
8. Два угла треугольника равны \(10^\circ\) и \(70^\circ\). Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла треугольника.
9. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\), равным 47,см, внешний угол при вершине \(B\) равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от вершины \(C\) до прямой \(AB\).
10. Числа‑палиндромы — числа, которые читаются одинаково как справа налево, так и слева направо. Сколько существует пятнадцатизначных чисел‑палиндромов, кратных 75?

Решения задач

1. Вычислите \[ (5^4 : 100 - 0{,}5^3 \cdot 10) : 0{,}2^3 \] Решение: \[ \left(\frac{625}{100} - 0{,}125 \cdot 10\right) : 0{,}008 = \left(6{,}25 - 1{,}25\right) : 0{,}008 = 5 : 0{,}008 = 625 \] Ответ: 625.
2. Найдите наименьшее значение выражения \[ 2x^2 + 12x + 15 \] Решение: \[ 2(x^2 + 6x) + 15 = 2[(x + 3)^2 - 9] + 15 = 2(x + 3)^2 - 18 + 15 = 2(x + 3)^2 - 3 \] Наименьшее значение достигается при \(x = -3\) и равно \(-3\). Ответ: \(-3\).
3. Решите уравнение \[ x^3 - 3x^2 - 16x + 48 = 0 \] Решение: Подбором находим корень \(x = 3\): \[ (x - 3)(x^2 - 16) = 0 \Rightarrow x = 3,\; x = 4,\; x = -4 \] Ответ: \(-4; 3; 4\).
4. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ a(5 - a)x = a - 5 \] имеет бесконечно много корней. Решение: Уравнение имеет бесконечно много корней, когда: \[ \begin{cases} a(5 - a) = 0 \\ a - 5 = 0 \end{cases} \Rightarrow a = 5 \] Ответ: \(5\).
5. Постройте график функции \[ y = |x + 3| + 2x + 5 \] Решение: Рассмотрим два случая:
   • \(x \geq -3\): \(y = x + 3 + 2x + 5 = 3x + 8\)
   • \(x < -3\): \(y = -x - 3 + 2x + 5 = x + 2\)
   График состоит из двух лучей с изломом в точке \((-3, -1)\). Ответ: График — ломаная из двух прямых.
6. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку? Решение: Пусть \(u\) — производительность ученика, \(m\) — мастера. Составляем систему: \[ \begin{cases} 3u + 2m = 0{,}9N \\ 3m + 2u = 1{,}15N \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 0{,}1N \\ m = 0{,}3N \end{cases} \] Время ученика: \(t = \frac{N}{0{,}1N} = 10\) часов. Ответ: 10 часов.
7. Доказательство: Пусть биссектриса внешнего угла при вершине \(B\) параллельна стороне \(AC\). Тогда угол между биссектрисой и стороной \(BC\) равен углу \(BAC\), что доказывает равенство сторон \(AB = BC\).
8. Угол между высотой и биссектрисой: Решение: Треугольник имеет углы \(10^\circ\), \(70^\circ\), \(100^\circ\). Биссектриса делит угол \(100^\circ\) на \(50^\circ\), высота образует угол \(20^\circ\) с основанием. Разница: \(50^\circ - 20^\circ = 30^\circ\). Ответ: \(30^\circ\).
9. Расстояние от \(C\) до \(AB\): Решение: Угол при вершине \(B\) — \(120^\circ\). Высота \(BH = \frac{47}{2} \cdot \sqrt{3}\). Расстояние \(h = BH \cdot \sin 60^\circ = 47 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 40{,}7\) см. Ответ: \(23{,}5\sqrt{3}\) см.
10. Числа-палиндромы кратные 75: Решение: Палиндром кратен 75 ⇒ оканчивается на 75 или 00. Для пятнадцатизначных чисел:
    • Форма: \(a...a\), где последние цифры 75 или 00
    • Кратность 75: только варианты оканчивающиеся на 00 или 75
    • Первая цифра ≠ 0 ⇒ допустимо только окончание 00
    Первые 8 цифр могут быть любыми (1-9 первая, остальные 0-9). Количество: \(9 \times 10^6\). Ответ: \(9 \times 10^6\).