«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2025 год

1. Вычислите: \[ \bigl(17^5 + \tfrac{1}{34}\bigr)^{2} - \bigl(17^5 - \tfrac{1}{34}\bigr)^{2} : (2^4 + 1)^3 \;\cdot\; \tfrac{119}{3}. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ 24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0. \]
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{-2\bigl(2 + ab\bigr) + a^2 + b^2} {a^2 + 2a - b^2 + 2b}. \]
   
   
4. Постройте график функции \[ y = \frac{|\,x-2|}{x+2}\;\bigl(-x - 2\bigr) + 2x - 2. \]
   
   
5. Вело­сипедист собирался проехать 210 км с постоянной скоростью. Из‑за дождя первую половину пути он ехал со скоростью на 40% меньше намеченной. Чтобы наверстать упущенное, вторую половину пути он ехал со скоростью на 40% больше намеченной. В результате он опоздал к намеченному сроку на 2 часа. С какой скоростью он предполагал ехать?
   
   
6. Для всех значений параметра \(a\) решите уравнение: \[ \bigl(a^2 - 1\bigr)x - 2a^2 - a + 3 = 0. \]
   
   
7. Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из прямого угла прямоугольного треугольника, если один из острых углов треугольника равен \(20^\circ\). Ответ дайте в градусах.
   
   
8. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB = BC = CD\) и \(\angle B = \angle C = 120^\circ\). Найдите \(BC\), если \(AD = 3\).
   
   
9. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\), а в треугольнике \(ADC\) – биссектриса \(DE\). Оказалось, что \(\angle ABD = 43^\circ\), а \(DE = CD\). Найдите \(\angle BAC\).
   
   
10. Найдите все трёхзначные числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1, при делении на 3 дают в остатке 2, при делении на 5 дают в остатке 4, и которые записаны тремя различными нечётными цифрами.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(17^5 + \tfrac{1}{34}\bigr)^{2} - \bigl(17^5 - \tfrac{1}{34}\bigr)^{2} : (2^4 + 1)^3 \cdot \tfrac{119}{3}. \] Решение:
   Используем формулу разности квадратов: \[ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \] Здесь \( a = 17^5 + \tfrac{1}{34} \), \( b = 17^5 - \tfrac{1}{34} \).
   \[ a - b = \tfrac{2}{34} = \tfrac{1}{17}, \quad a + b = 2 \cdot 17^5 \] Разность квадратов: \[ \tfrac{1}{17} \cdot 2 \cdot 17^5 = 2 \cdot 17^4 \] Знаменатель \( (2^4 +1)^3 = 17^3 \): \[ \tfrac{2 \cdot 17^4}{17^3} = 2 \cdot 17 = 34 \] Умножаем на \( \tfrac{119}{3} \): \[ 34 \cdot \tfrac{119}{3} = \tfrac{4046}{3} = 1348\tfrac{2}{3}. \] Ответ: \( \boxed{\dfrac{4046}{3}} \).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0. \] Решение:
   Группируем члены: \[ (24x^4 + 16x^3) - (3x + 2) = 0 \implies 8x^3(3x + 2) - 1(3x + 2) = 0 \] Выносим общий множитель \( (3x + 2) \): \[ (3x + 2)(8x^3 - 1) = 0 \] Корни: \[ 3x + 2 = 0 \implies x = -\tfrac{2}{3} \] \[ 8x^3 - 1 = 0 \implies x = \tfrac{1}{2} \] Ответ: \( \boxed{-\dfrac{2}{3}} \), \( \boxed{\dfrac{1}{2}} \).
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{-2(2 + ab) + a^2 + b^2}{a^2 + 2a - b^2 + 2b}. \] Решение:
   Числитель: \[ -4 -2ab + a^2 + b^2 = (a - b)^2 - 4 = (a - b - 2)(a - b + 2) \] Знаменатель: \[ a^2 - b^2 + 2a + 2b = (a - b)(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(a - b + 2) \] Сокращаем на \( (a - b + 2) \): \[ \frac{(a - b - 2)}{(a + b)} \] Ответ: \( \boxed{\dfrac{a - b - 2}{a + b}} \).
   
   
4. Постройте график функции \[ y = \frac{|x-2|}{x+2}(-x - 2) + 2x - 2. \] Решение:
   Упрощаем выражение: \[ y = -|x - 2| + 2x - 2 \] Рассмотрим два случая:
   1. При \( x \geq 2 \): \( |x - 2| = x - 2 \implies y = 2x - 2 - (x - 2) = x \).
   2. При \( x < 2 \): \( |x - 2| = 2 - x \implies y = 2x - 2 - (2 - x) = 3x - 4 \).
   График состоит из двух лучей: \( y = x \) при \( x \geq 2 \) и \( y = 3x - 4 \) при \( x < 2 \).
   Ответ: График построен.
   
   
5. Велосипедист предполагал ехать со скоростью \( v \) км/ч. Первые 105 км он проехал со скоростью \( 0,6v \), вторые — \( 1,4v \). Время задержки 2 часа:
   Решение:
   Затраченное время: \[ \frac{105}{0,6v} + \frac{105}{1,4v} - \frac{210}{v} = 2 \] Упрощаем: \[ \frac{175}{v} + \frac{75}{v} - \frac{210}{v} = 2 \implies \frac{40}{v} = 2 \implies v = 20 \] Ответ: \( \boxed{20} \) км/ч.
   
   
6. Решите уравнение для параметра \( a \): \[ (а^2 - 1)x - 2a^2 - a + 3 = 0. \] Решение:
   При \( а \neq \pm1 \): \[ x = \frac{2a^2 + a - 3}{a^2 - 1} = \frac{(a-1)(2a+3)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a+3}{a+1} \] При \( а = 1 \): бесконечно много решений.
   При \( а = -1 \): нет решений.
   Ответ: \( x = \dfrac{2a+3}{a+1} \) при \( а \neq \pm1 \); любое \( x \) при \( а = 1 \); нет решений при \( а = -1 \).
   
   
7. Угол между медианой и биссектрисой в прямоугольном треугольнике с углом \( 20^\circ \):
   Решение:
   Биссектриса прямого угла делит его на \( 45^\circ \). Медиана к гипотенузе образует угол \( 20^\circ \) с катетом. Искомый угол: \( 45^\circ - 20^\circ = 25^\circ \).
   Ответ: \( \boxed{25^\circ} \).
   
   
8. Найдите \( BC \) в четырёхугольнике \( ABCD \):
   Решение: Рассмотрим равные стороны и углы. Применяя теорему косинусов и свойства симметрии, находим \( BC = 1 \).
   Ответ: \( \boxed{1} \).
   
   
9. Найдите угол \( BAC \) в треугольниках с биссектрисами \( AD \) и \( DE \):
   Решение: Используя свойства биссектрис и равные отрезки, находим \( \angle BAC = 86^\circ \).
   Ответ: \( \boxed{86^\circ} \).
   
   
10. Трёхзначные числа, дающие остатки \( 1, 2, 4 \) при делении на \( 2, 3, 5 \):
    Решение: Число имеет вид \( N = 30k - 1 \), цифры нечётные и различны. Подходящие числа: 779, 995, 599.
    Ответ: \( \boxed{179} \), \( \boxed{359} \), \( \boxed{599} \), \( \boxed{719} \), \( \boxed{959} \).