«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 23 апреля 2022 год

\Large{«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы}\\ \large{2022}\\ \large{23.04.2022} \begin{enumerate} \item Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{6} \cdot 732 - (7 + 1)(7^2 + 1)(7^4 + 1)(7^8 + 1)(7^{16} + 1). \] \item Упростите выражения и укажите возможные значения всех переменных: \begin{enumerate} \item \( \dfrac{25 - b^2}{b^2 - 8b + 15} \) \item \( \dfrac{3x + b}{6x^2 - 3ax + 2bx - ab} \) \end{enumerate} \item Какое наибольшее количество чёрных и белых ферзей можно поставить на шахматную доску, чтобы никакие два ферзя одного цвета не били друг друга? \item Решите уравнение: \[ \frac{3(1{,}2 - x)}{10} - \frac{5 + 7x}{4} = x + \frac{9x + 0{,}2}{20} - \frac{4(13x - 0{,}6)}{5}. \] \item Значение переменной \(x\) таково, что \(x^2 - 7x = 5\). Найдите значение выражения: \[ x^4 - 7x^3 - 35x - 1. \] \item Биссектриса внешнего угла \(ABD\) треугольника \(ABC\) пересекает биссектрису угла \(ACB\) в точке \(K\), причём \(\angle CKB = 19^\circ\). Найдите \(\angle BAC\). \item Имеются два сосуда с раствором соли, причём во втором сосуде раствора на 2 литра больше, чем в первом. В первом сосуде содержание соли в растворе составляет 20\%, а во втором — 50\%. При сливании растворов из обоих сосудов вместе получился раствор с содержанием соли 40\%. Определите количество раствора, которое было во втором сосуде. \end{enumerate}

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{1}{6} \cdot 732 - (7 + 1)(7^2 + 1)(7^4 + 1)(7^8 + 1)(7^{16} + 1) \] Решение: \[ \frac{732}{6} = 122 \] Произведение множителей вида $(7+1)(7^2+1)...(7^{16}+1)$ можно упростить, домножив на $(7-1)$ и разделив на него далее: \[ (7 - 1)(7 + 1)(7^2 + 1)(7^4 + 1)(7^8 + 1)(7^{16} + 1) = 7^{32} - 1 \implies \text{Произведение} = \frac{7^{32} - 1}{6} \] Подставляем в исходное выражение: \[ 122 - \frac{7^{32} - 1}{6} = \frac{732 - 7^{32} + 1}{6} = \frac{733 - 7^{32}}{6} \] Ответ: $\frac{733 - 7^{32}}{6}$ (значение огромно и отрицательно).
   
   
2. Упростите выражения и укажите возможные значения всех переменных:
   1. \( \dfrac{25 - b^2}{b^2 - 8b + 15} \)
      Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ 25 - b^2 = (5 - b)(5 + b); \quad b^2 - 8b + 15 = (b - 5)(b - 3) \] Упрощаем с учётом ограничений $b \neq 5, 3$: \[ \frac{(5 - b)(5 + b)}{(b - 5)(b - 3)} = -\frac{b + 5}{b - 3} \] Ответ: $-{\dfrac{b + 5}{b - 3}}$ при $b \neq 3, 5$.
      
      
   2. \( \dfrac{3x + b}{6x^2 - 3ax + 2bx - ab} \)
      Решение: Разложим знаменатель группировкой: \[ 6x^2 - 3ax + 2bx - ab = (3x(2x - a) + b(2x - a)) = (3x + b)(2x - a) \] Упрощаем дробь с учётом ограничений $3x + b \neq 0$ и $2x - a \neq 0$: \[ \frac{3x + b}{(3x + b)(2x - a)} = \frac{1}{2x - a} \] Ответ: $\dfrac{1}{2x - a}$ при $x \neq -\dfrac{b}{3}, \dfrac{a}{2}$.
   
   
   
3. Какое наибольшее количество чёрных и белых ферзей можно поставить на шахматную доску, чтобы никакие два ферзя одного цвета не били друг друга?
   Решение: Максимальное число ферзей одного цвета без взаимной атаки — 8. Размещая ферзей разных цветов на клетках противоположного цвета (белые на белых, чёрные на чёрных в двух независимых расстановках), получаем:
   Ответ: 16 ферзей (по 8 каждого цвета).
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{3(1{,}2 - x)}{10} - \frac{5 + 7x}{4} = x + \frac{9x + 0{,}2}{20} - \frac{4(13x - 0{,}6)}{5} \] Решение: Умножим обе части на 20 для устранения знаменателей: \[ 6(1{,}2 - x) - 25 - 35x = 20x + 9x + 0{,}2 - 208x + 9{,}6 \] Упрощаем и решаем: \[ -41x - 17{,}8 = -179x + 9{,}8 \quad \implies \quad 138x = 27{,}6 \quad \implies \quad x = 0{,}2 \] Ответ: $x = 0{,}2$.
   
   
5. Найдите значение выражения: \[ x^4 - 7x^3 - 35x - 1 \quad \text{при} \quad x^2 - 7x = 5 \] Решение: Выразим $x^2 = 7x + 5$, затем последовательно: \[ x^3 = 7x^2 + 5x = 54x + 35; \quad x^4 = 413x + 270 \] Подставляем в выражение: \[ 413x + 270 - 7(54x + 35) - 35x - 1 = 24 \] Ответ: 24.
   
   
6. Найдите $\angle BAC$, если $\angle CKB = 19^\circ$.
   Решение: Используя свойства биссектрис и углов треугольника, находим: \[ \angle BAC = 38^\circ \] Ответ: $38^\circ$.
   
   
7. Определите количество раствора во втором сосуде.
   Решение: Пусть в первом сосуде $V$ литров, тогда во втором $V + 2$. Уравнение массы соли: \[ 0{,}2V + 0{,}5(V + 2) = 0{,}4(2V + 2) \] Решая уравнение, получаем $V = 2$, значит во втором сосуде $4$ литра.
   Ответ: 4 литра.