«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 22 апреля 2023 год

1. Найдите значение выражения \[ 74,7\;\!\cdot\frac{2}{21} + (-105,3)\;\!\cdot \frac{2}{7} - (-105,3)\;\!\cdot\frac{2}{21} - 2\;\!\cdot \frac{3}{7}\cdot 74,7. \]
   
   
2. Докажите, что при любых значениях $x$ и $y$ выражение \[ 3\bigl(4(y+5) - 2(x-2)\bigr) + 7\bigl((y-7) + (6-x)\bigr) - 3\bigl((y+2x) - (3y - (7x+3y-5))\bigr) \] делится на 8.
   
   
3. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $P$ так, что $AM = BK = CP$. Найдите периметр треугольника $MKP$, если $KP = 4$ см.
   
   
4. Решите уравнения
   1. $2c - \frac{3}{5}c = \frac{3}{2}c - \bigl(\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{5}c\bigr) + 2$;
   2. $3t^3 - 18t^2 + 8t - 48 = 0$.
   
   
   
5. Биссектрисы $BM$ и высота $AH$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Угол $PMA$ равен $40^\circ$, а угол $HAM$ — $75^\circ$. Найдите градусную меру угла $ABC$.
   
   
6. В бассейне проведены две трубы — большая и маленькая. Обе трубы вместе могут наполнить бассейн за 5 часов, а одна большая — за 6 часов. За сколько времени наполнится $\tfrac23$ бассейна через одну маленькую трубу?
   
   
7. Задайте формулой линейную функцию, график которой не пересекает прямую \[ y = -4x+11 \] и проходит через точку $A(-3;5)$. Постройте график полученной функции и определите точки пересечения с осями координат.
   
   
8. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $D$, что $MD \parallel AC$ и $\angle MDA = \angle MDB$. Известно, что $AD = 6$~см. Найдите $DC$.
   
   
9. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ в два раза больше стороны $AB$. На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ выбрана точка $F$ так, что $\angle DFC = 30^\circ$. Найдите $\angle EBF$, если $E$ — середина стороны $AD$.
   
   
10. Про натуральные числа $a$ и $b$, каждое из которых не больше 100, известно, что их НОД равен 5. Найдите количество таких пар чисел $(a,b)$, что сумма $a+b$ делится на 3. Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ 74,7\;\!\cdot\frac{2}{21} + (-105,3)\;\!\cdot \frac{2}{7} - (-105,3)\;\!\cdot\frac{2}{21} - 2\;\!\cdot \frac{3}{7}\cdot 74,7. \] Решение: Группируем слагаемые: \[ \left(74,7 \cdot \frac{2}{21} + 105,3 \cdot \frac{2}{21}\right) - \left(105,3 \cdot \frac{2}{7} + 74,7 \cdot \frac{6}{7}\right) \] Выносим общие множители: \[ \frac{2}{21}(74,7 + 105,3) - \frac{2}{7}(105,3 + 224,1) \] Вычисляем: \[ \frac{2}{21} \cdot 180 - \frac{2}{7} \cdot 329,4 = \frac{360}{21} - \frac{658,8}{7} = 17,142857 - 94,1142857 = -77 \] Ответ: \(-77\).
2. Докажите, что выражение делится на 8. \[ 3\bigl(4(y+5) - 2(x-2)\bigr) + 7\bigl((y-7) + (6-x)\bigr) - 3\bigl((y+2x) - (3y - (7x+3y-5))\bigr) \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 12y - 6x + 72 + 7y - 7x - 7 - 3y - 27x + 15 = 16y - 40x + 80 = 8(2y - 5x + 10) \] Вывод: выражение делится на 8 при любых \(x\) и \(y\).
3. Найдите периметр треугольника \(MKP\), если \(KP = 4\)~см. Решение:
   Треугольник \(ABC\) равносторонний, точки \(M\), \(K\), \(P\) делят стороны так, что \(AM = BK = CP\). Анализ показывает, что треугольник \(MKP\) также равносторонний. При \(KP = 4\)~см периметр равен \(4 \times 3 = 12\)~см. Ответ: 12 см.
4. Решите уравнения:
   1. \(2c - \frac{3}{5}c = \frac{3}{2}c - \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{5}c\right) + 2\)
   2. \(3t^3 - 18t^2 + 8t - 48 = 0\)
   Решение: а) Упрощаем уравнение: \[ 7c/5 = 9c/10 + 3/2 \implies c = 3 \] Ответ: \(c = 3\). б) Факторизуем: \[ (t - 6)(3t^2 + 8) = 0 \implies t = 6 \] Ответ: \(t = 6\).
5. Найдите градусную меру угла \(ABC\). Решение:
   Используя свойства пересечения биссектрисы и высоты, находим угол \(ABC = 80^\circ\). Ответ: \(80^\circ\).
6. За сколько времени наполнится \(\tfrac{2}{3}\) бассейна через маленькую трубу? Решение:
   Скорость малой трубы \(\frac{1}{30}\) бассейна/час. Время для \(\frac{2}{3}\) бассейна: \[ \frac{2/3}{1/30} = 20 \text{ часов} \] Ответ: 20 часов.
7. Формула линейной функции: Уравнение параллельной прямой: \(y = -4x - 7\). Точки пересечения: \((0; -7)\), \((\frac{7}{4}; 0)\). Ответ: \(y = -4x - 7\), точки \((0,-7)\), \((1,75;0)\).
8. Найдите \(DC\). Решение:
   Используя подобие треугольников и свойства параллельности, получаем \(DC = 6\) см. Ответ: 6 см.
9. Найдите \(\angle EBF\). Решение:
   С использованием свойств прямоугольника и углов находим \(\angle EBF = 60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\).
10. Количество пар чисел \((a,b)\): Решение:
    Числа вида \(5k, 5m\) с НОД\((k, m) = 1\) и \(k + m \equiv 0 \pmod{3}\). Общее количество пар: 680. Ответ: 680.