«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2022 год

1. Найдите значение выражения \[ (3+1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) - \tfrac12 \cdot 3^{16}. \]
2. Сколько корней имеет уравнение \[ a x + x = a^2 + a \] при различных значениях параметра \(a\)?
3. Трёхзначное число \(\overline{abc}\) таково, что \(\overline{ab}\) кратно 18, а \(\overline{bc}\) — простое число. Найдите множество всех таких чисел.
4. Найдите \(\bigl|k - 3 - 5k^2\bigr|\), где \(k\) — корень уравнения \[ (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 2x(2x - 3)(2x + 3) = 38x + 3. \]
5. В 2004 году в России давали автомобильные номера, например 77А451КТ, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента — цифры (код региона), затем идёт буква, затем трёхзначное число и под конец ещё две буквы.
   1. Сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России?
   2. На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?
6. Точки \(B\) и \(O\) расположены по разные стороны от прямой \(AC\), при этом \(OA = OB = OC\) и \(\angle AOB = 52^\circ\). Найдите \(\angle ACB\).
7. Из посёлка на станцию, удалённую от него на расстояние 27 км, отправились одновременно пешеход и велосипедист, причём скорость пешехода была на 10 км/ч меньше скорости велосипедиста. Прибыв на станцию, велосипедист сразу повернул обратно и встретил пешехода через 2 часа 24 минуты после его выхода из посёлка. На каком расстоянии от посёлка произошла встреча?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (3+1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) - \tfrac{1}{2} \cdot 3^{16}. \]
   Решение: Используем формулу разности квадратов несколько раз: \[ (3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) = 3^{16} - 1. \] Подставив \((3 - 1)\), исходное выражение преобразуется: \[ \frac{3^{16} - 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 3^{16} = \frac{-1}{2} = -0,5. \] Ответ: \(-0,5\).
2. Сколько корней имеет уравнение \[ a x + x = a^2 + a \] при различных значениях параметра \(a\)?
   Решение: Упростим уравнение: \[ x(a + 1) = a(a + 1). \] Если \(a \neq -1\), тогда \(x = a\) — единственный корень. Если \(a = -1\), уравнение превращается в тождество \(0 \cdot x = 0\), что означает бесконечно много корней.
   Ответ: при \(a \neq -1\) — один корень, при \(a = -1\) — бесконечно много корней.
3. Трёхзначное число \(\overline{abc}\) таково, что \(\overline{ab}\) кратно 18, а \(\overline{bc}\) — простое число. Найдите множество всех таких чисел.
   Решение: \(\overline{ab}\) кратно 18 ⇒ \(ab \in \{18, 36, 54, 72, 90\}\).
   \(\overline{bc}\) должно быть простым. Проверяя возможные варианты:
   • \(ab = 18\) ⇒ \(bc = 83,\, 89\) → числа 183, 189
   • \(ab = 36\) ⇒ \(bc = 61,\, 67\) → числа 361, 367
   • \(ab = 54\) ⇒ \(bc = 41,\, 43,\,47\) → числа 541, 543, 547
   • \(ab = 72\) ⇒ \(bc = 23,\, 29\) → числа 723, 729
   • \(ab = 90\) — не подходит (bc однозначное)
   Ответ: \{183, 189, 361, 367, 541, 543, 547, 723, 729\}.
4. Найдите \(\bigl|k - 3 - 5k^2\bigr|\), где \(k\) — корень уравнения \[ (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 2x(2x - 3)(2x + 3) = 38x + 3. \]
   Решение: Упростим уравнение: \[ 8x^3 - 1 -8x^3 + 18x = 38x + 3 \quad \Rightarrow \quad -20x = 4 \quad \Rightarrow x = -\frac{1}{5}. \] Подставляем \(k = -\frac{1}{5}\): \[ \left| -\frac{1}{5} - 3 - 5 \left(\frac{1}{25}\right) \right| = \left| -\frac{17}{5} \right| = \frac{17}{5}. \] Ответ: \(\frac{17}{5}\).
5. Автомобильные номера формата \(77А451КТ\):
   1. Общее количество номеров в России:
      Решение: \[ 10 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 1000 \cdot 12 \cdot 12 = 172\,800\,000. \] Ответ: \(172\,800\,000\).
   2. Количество номеров в Москве (коды 77, 97, 99):
      Решение: \[ 3 \cdot 12 \cdot 1000 \cdot 12 \cdot 12 = 5\,184\,000. \] Ответ: \(5\,184\,000\).
6. Точки \(B\) и \(O\) расположены по разные стороны от прямой \(AC\), при этом \(OA = OB = OC\) и \(\angle AOB = 52^\circ\). Найдите \(\angle ACB\).
   Решение: Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности с центром \(O\). Центральный угол \(\angle AOB = 52^\circ\) соответствует дуге \(AB\). Вписанный угол \(\angle ACB\) равен половине дуги: \[ \angle ACB = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ. \] Ответ: \(26^\circ\).
7. Пешеход и велосипедист отправились из посёлка на станцию (27 км). Скорость велосипедиста \(V\), пешехода \(V-10\). Встреча через 2,4 часа.
   Решение: Пусть скорость велосипедиста \(V\), тогда: \[ \frac{27}{V} + \frac{\frac{270}{V}}{2V - 10} = 2,4 \] Решая уравнение, находим \(V = 16,25\) км/ч.
   Пешеход проходит расстояние: \[ (16,25 - 10) \cdot 2,4 = 15 \text{ км}. \] Ответ: 15 км.