8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы


2021


04.09.2021



  1. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: \[ \dfrac{m^2 + 2mn + 4nk - 4k^2}{4n^2 + m^2 + 4mn - 4k^2} \]

  2. Вычислите: \[ \dfrac{\left(735 : 721\right) \cdot \left(x^{22} : x^{12}\right) \cdot x^{18} \cdot \left(y^3\right)^8 \cdot y^{25}}{(7xy)^{14} \cdot x^{15} \cdot y^{14} \cdot \left(y^{37} : y^{18}\right)^{-7} \cdot (xy)^0}, \quad \text{если } x = 6,\ y = -9 \]

  3. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси: \[ (2x + 1 + 3x - 44 - (4 - 3 \cdot (1 - x - x^{-25}))) > 5x + 7 \]

  4. Решите уравнение: \[ |2a - 5| + 7 = |a + 8| + 4 \]

  5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции \(y = 2x + 2004\) и пересекается с графиком функции \(y = x - 3\) в точке, лежащей на оси ординат.

  6. Решите задачу при помощи уравнения:
    Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на 7{,}5 минут больше. Какой длины были дороги?

  7. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\), точка \(O\) — центр вписанной окружности, точки \(D\) и \(E\) — точки касания вписанной окружности со сторонами \(AC\) и \(AB\) соответственно. Угол \(\angle ABC = 48^\circ\). Найдите \(\angle DOE\).

  8. Можно ли вписать в клетки доски \(8 \times 8\) различные числа от 1 до 64 так, чтобы в любом квадратике \(2 \times 2\) сумма чисел была равна 120? (Обосновать решение.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: \[ \dfrac{m^2 + 2mn + 4nk - 4k^2}{4n^2 + m^2 + 4mn - 4k^2} \] Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители.
    Числитель: \(m^2 + 2mn + 4nk - 4k^2 = (m + 2k)(m + 2n - 2k)\)
    Знаменатель: \(4n^2 + m^2 + 4mn - 4k^2 = (m + 2n - 2k)(m + 2n + 2k)\)
    После сокращения общих множителей: \[ \dfrac{m + 2k}{m + 2n + 2k} \] Ответ: \(\dfrac{m + 2k}{m + 2n + 2k}\).

  2. Вычислите: \[ \dfrac{\left(7^{35} : 7^{21}\right) \cdot \left(x^{22} : x^{12}\right) \cdot x^{18} \cdot \left(y^3\right)^8 \cdot y^{25}}{(7xy)^{14} \cdot x^{15} \cdot y^{14} \cdot \left(y^{37} : y^{18}\right)^{-7} \cdot (xy)^0} \] Решение: Упростим выражения степеней:
    Числитель: \(7^{14} \cdot x^{28} \cdot y^{49}\)
    Знаменатель: \(7^{14} \cdot x^{29} \cdot y^{-105}\)
    После сокращения: \[ \dfrac{y^{154}}{x} \] При \(x = 6\), \(y = -9\): \[ \dfrac{(-9)^{154}}{6} = \dfrac{9^{154}}{6} \] Ответ: \(\dfrac{9^{154}}{6}\).

  3. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси: \[ (2x + 1 + 3x - 44 - (4 - 3 \cdot (1 - x - x^{-25}))) > 5x + 7 \] Решение: Неравенство содержит ошибку в условии из-за наличия \(x^{-25}\), что делает его нерешаемым в рамках стандартных методов. Предположительно опечатка. Решение невозможно.

  4. Решите уравнение: \[ |2a - 5| + 7 = |a + 8| + 4 \] Решение: \[ |2a - 5| = |a + 8| - 3 \] Рассмотрение случаев приводит к корням: \[ a = 0, \quad a = 10 \] Ответ: \(0; 10\).

  5. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции \(y = 2x + 2004\) и пересекается с графиком функции \(y = x - 3\) в точке, лежащей на оси ординат.
    Решение: Точка пересечения на оси ординат \((0; -3)\). Уравнение: \[ y = 2x - 3 \] Ответ: \(y = 2x - 3\).

  6. Решите задачу при помощи уравнения:
    Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на 7{,}5 минут больше. Какой длины были дороги?
    Решение: Пусть длина первой дороги \(x\) км: \[ \dfrac{x + 3}{9} - \dfrac{x}{8} = \dfrac{7{,}5}{60} \] Решение уравнения: \[ x = 15 \quad \Rightarrow \quad x + 3 = 18 \] Ответ: \(15\) км и \(18\) км.

  7. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\), точка \(O\) — центр вписанной окружности, точки \(D\) и \(E\) — точки касания вписанной окружности со сторонами \(AC\) и \(AB\) соответственно. Угол \(\angle ABC = 48^\circ\). Найдите \(\angle DOE\).
    Решение: Угол между радиусами в точках касания равен: \[ 180^\circ - 2 \cdot \dfrac{180^\circ - 48^\circ}{2} = 114^\circ \] Ответ: \(114^\circ\).

  8. Можно ли вписать в клетки доски \(8 \times 8\) различные числа от 1 до 64 так, чтобы в любом квадратике \(2 \times 2\) сумма чисел была равна 120?
    Решение: Сумма всех чисел от 1 до 64 равна \(2080\). Каждое число входит в несколько квадратов \(2 \times 2\), что приводит к противоречию с общей суммой. Ответ: Нельзя.
Материалы школы Юайти