8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2020 год

Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы


2020


Вариант 1



  1. Выполните действия: \[ \left( \dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{27}{-2} - \dfrac{17}{18} \right) : \dfrac{1}{23} + \dfrac{27}{-3} \cdot \dfrac{3}{5} : 3 + \left( 43 - 42 \cdot \dfrac{2}{3} \right) : \dfrac{2}{3} + 2{,}5 \]

  2. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 + 2(x + 1) = (2x + 1)^2 - 2(3x + 1) \]

  3. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(M(1; 4)\) и не пересекает график функции \(y = -3x + 1\).

  4. Сократите дробь: \[ \dfrac{c^2 - 2c - d^2 + 1}{c^2 - 2cd + d^2 - 1} \]

  5. Докажите, что выражение \(87 - 411 + 644\) кратно 28.

  6. Вычислите: \[ \dfrac{76 \cdot 223 \cdot 25^2 \cdot \left(1110 \div 118 \right) \cdot 284}{143 \cdot \left(\dfrac{8}{11} \right)^4 \cdot 442 \cdot 776} \]

  7. Первый сплав весом 25 кг содержит 84% серебра, а второй весом 12{,}5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить эти два сплава?

  8. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\), отрезок \(AD\) — биссектриса, отрезок \(CD\) на 3 см меньше отрезка \(BD\). Найдите биссектрису \(AD\).

  9. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник \(ABC\), проведена касательная, пересекающая боковые стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Найдите боковую сторону треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(BKP\) равен 8 см и \(AC = 12\) см.

  10. Высоты \(AM\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём \(HK = HM\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.

  11. В треугольник с углами \(30^\circ\), \(70^\circ\) и \(80^\circ\) вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

  12. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении \(5 : 8\), считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выполните действия: \[ \left( \dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{27}{-2} - \dfrac{17}{18} \right) : \dfrac{1}{23} + \dfrac{27}{-3} \cdot \dfrac{3}{5} : 3 + \left( 43 - 42 \cdot \dfrac{2}{3} \right) : \dfrac{2}{3} + 2{,}5 \] Решение: Разобъем вычисления на этапы:
    1. Первое слагаемое внутри скобок: \[ \dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{27}{-2} = -\dfrac{81}{22} \]
    2. Подстановка и вычитание: \[ -\dfrac{81}{22} - \dfrac{17}{18} = -\dfrac{81 \cdot 9 - 17 \cdot 11}{198} = -\dfrac{841}{198} \]
    3. Деление на $\dfrac{1}{23}$: \[ -\dfrac{841}{198} \cdot 23 = -\dfrac{19343}{198} \]
    4. Второе слагаемое: \[ \dfrac{27}{-3} \cdot \dfrac{3}{5} : 3 = -3 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{3}{5} \]
    5. Третье слагаемое: \[ (43 - 28) : \dfrac{2}{3} = 15 \cdot \dfrac{3}{2} = 22{,}5 \]
    6. Суммируем все части: \[ -\dfrac{19343}{198} - \dfrac{3}{5} + 22{,}5 + 2{,}5 = -\dfrac{19343}{198} + 25 = 25 - 97{,}65 = -72{,}65 \]
    Ответ: $-72{,}65$.

  2. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 + 2(x + 1) = (2x + 1)^2 - 2(3x + 1) \] Решение: Раскроем скобки: \[ 4x² - 4x + 1 + 2x + 2 = 4x² + 4x + 1 - 6x - 2 \] Упростим: \[ 4x² - 2x + 3 = 4x² - 2x -1 \] Переносим все в левую часть: \[ 4x² -2x +3 -4x² +2x +1 = 4 \Rightarrow 4=0 \] Ответ: Нет решения.

  3. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(M(1; 4)\) и не пересекает график функции \(y = -3x + 1\). Решение: Угловой коэффициент параллельной прямой \(k = -3\). Уравнение: \(y = -3x + b\). Подставляем точку M: \[ 4 = -3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 7 \] Ответ: \(y = -3x + 7\).

  4. Сократите дробь: \[ \dfrac{c^2 - 2c - d^2 + 1}{c^2 - 2cd + d^2 - 1} \] Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \dfrac{(c-1)² - d²}{(d-c)² - 1} = \dfrac{(c-1-d)(c-1+d)}{(d-c-1)(d-c+1)} = \dfrac{(c-d-1)(c+d-1)}{(d-c-1)(d-c+1)} = -\dfrac{(c+d-1)}{(d-c+1)} \] Ответ: \(-\dfrac{c + d - 1}{d - c + 1}\)

  5. Докажите, что выражение \(87 - 411 + 644\) кратно 28. Решение: Вычислим сумму: \[ 87 - 411 + 644 = 320 \] Проверим делимость: \[ 320 ÷ 28 = 11{,}428... \Rightarrow 28 \cdot 11 = 308, \quad 320 - 308 = 12 \] Ответ: Не кратно (ошибка в условии).

  6. Вычислите: \[ \dfrac{76 \cdot 223 \cdot 25^2 \cdot \left(1110 \div 118 \right) \cdot 284}{143 \cdot \left(\dfrac{8}{11} \right)^4 \cdot 442 \cdot 776} \] Решение: Упростим множители: \[ \dfrac{76 \cdot 223 \cdot 625 \cdot 9{,}4068 \cdot 284}{143 \cdot \dfrac{4096}{14641} \cdot 442 \cdot 776} ≈ \dfrac{76 \cdot 223 \cdot 625 \cdot 9{,}4068 \cdot 284}{143 \cdot 0{,}279 \cdot 442 \cdot 776} ≈ 123{,}5 \] Ответ: ≈123{,}5 (требуются точные вычисления).

  7. Первый сплав весом 25 кг содержит 84% серебра, а второй весом 12{,}5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить эти два сплава? Решение: Масса серебра: \[ 25 \cdot 0{,}84 + 12{,}5 \cdot 0{,}72 = 21 + 9 = 30 \text{ кг} \] Общая масса сплава: \(25 + 12{,}5 = 37{,}5\) кг Процент серебра: \[ \dfrac{30}{37{,}5} \cdot 100% = 80\% \] Ответ: 80\%.

  8. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\), отрезок \(AD\) — биссектриса, отрезок \(CD\) на 3 см меньше отрезка \(BD\). Найдите биссектрису \(AD\). Решение: Пусть \(BC = a\), тогда \(AC = a/\sqrt{3}\). По свойству биссектрисы: \[ \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{a/\sqrt{3}}{2a/\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \] Тогда \(CD = x\), \(BD = x + 3\), \(x/(x + 3) = 1/2 \Rightarrow x = 3\) см. Длина биссектрисы: \[ AD = \dfrac{2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(30^\circ)}{AC + AB} = \dfrac{2 \cdot (a/\sqrt{3}) \cdot (2a/\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}/2)}{a/\sqrt{3} + 2a/\sqrt{3}} = \dfrac{2a²/\sqrt{3}}{3a/\sqrt{3}} = \dfrac{2a}{3} \] Подставляя \(a = 3\sqrt{3}\), получим \(AD = 2\sqrt{3}\) см. Ответ: \(2\sqrt{3}\) см.

  9. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник \(ABC\), проведена касательная, пересекающая боковые стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Найдите боковую сторону треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(BKP\) равен 8 см и \(AC = 12\) см. Решение: Пусть боковая сторона \(AB = BC = x\). Полупериметр исходного треугольника: \[ p = \dfrac{x + x + 12}{2} = x + 6 \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\sqrt{(x + 6)(x + 6 - x)(x + 6 - x)(x + 6 - 12)}}{x + 6} = \dfrac{\sqrt{(x + 6)(6)(6)(x - 6)}}{x + 6} \] Условие периметра треугольника \(BKP\): \[ 2(x - 2r) + (12 - 2r) = 8 \Rightarrow x + 12 - 4r = 8 \Rightarrow x = 4r - 4 \] Решая уравнения, получаем \(x = 10\) см. Ответ: 10 см.

  10. Высоты \(AM\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём \(HK = HM\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный. Решение: Из равенства \(HK = HM\) и свойств ортоцентра следует подобие треугольников \(BHK\) и \(BHM\), откуда \(BM = BK\), значит \(AB = BC\). Ответ: Доказано.

  11. В треугольник с углами \(30^\circ\), \(70^\circ\) и \(80^\circ\) вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника. Решение: Углы треугольника точек касания: \[ 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ,\ 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ,\ 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] Ответ: \(75^\circ,\ 55^\circ,\ 50^\circ\).

  12. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении \(5 : 8\), считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см. Решение: Пусть боковая сторона \(AB = BC = 13k\), основание \(AC = 10k\). Периметр: \[ 13k + 13k + 10k = 36k = 72 \Rightarrow k = 2 \] Стороны: \[ AB = BC = 26\ см,\ AC = 20\ см \] Ответ: 26 см, 26 см, 20 см.
Материалы школы Юайти