«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2019 год. Демоверсия

1. Выполните действия: \[ \biggl( \frac{3\tfrac{11}{27}-2\tfrac{17}{18}}{43-4\tfrac{2}{3}} \biggr) \colon \frac{1\cdot23}{27} - \frac{3-3\cdot\frac{3}{5}}{27} +2,5. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ (2x-1)^2 + 2(x+1) = (2x+1)^2 - 2(3x+1). \]
   
   
3. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку $M(1;4)$ и не пересекает график функции \[ y = -3x + 1. \]
   
   
4. Сократите дробь: \[ \frac{c^2 - 2c - d^2 + 1}{c^2 - 2cd + d^2 - 1}. \]
   
   
5. Докажите, что выражение \[ 8^7 - 4^{11} + 64^4 \] кратно 28.
   
   
6. Вычислите: \[ \frac{7^6 \cdot 22^3 \cdot (25)^2 \cdot (11^{10}\!\cdot 11^8) \cdot 28^4} {14^3 \cdot \bigl(\tfrac{8}{11}\bigr)^4 \cdot 44^2 \cdot 77^6}. \]
   
   
7. Первый сплав весом 25 кг содержит 84% серебра, а второй весом 12,5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить два этих сплава?
   
   
8. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, отрезок $AD$ — биссектриса, отрезок $CD$ на 3 см меньше отрезка $BD$. Найдите биссектрису $AD$.
   
   
9. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если периметр треугольника $BKP$ равен 8 см и $AC=12$ см.
   
   
10. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $HK = HM$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    
    
11. В треугольник с углами $30^\circ$, $70^\circ$ и $80^\circ$ вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
    
    
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $5\!:\!8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \biggl(\frac{3\tfrac{11}{27} - 2\tfrac{17}{18}}{43 - 4\tfrac{2}{3}}\biggr) \colon \frac{123}{27} - \frac{3 - 3\cdot\frac{3}{5}}{27} +2,5 \]
   Решение:
   Преобразуем смешанные числа:
   $3\frac{11}{27} = \frac{92}{27},\quad 2\frac{17}{18} = \frac{53}{18},\quad 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$
   Вычислим числитель: $\frac{92}{27} - \frac{53}{18} = \frac{184 - 159}{54} = \frac{25}{54}$
   Знаменатель: $43 - \frac{14}{3} = \frac{115}{3}$
   Первая дробь: $\frac{\frac{25}{54}}{\frac{115}{3}} = \frac{25}{2070} = \frac{5}{414}$
   Умножение на $\frac{123}{27}$: $\frac{5}{414} \cdot \frac{123}{27} = \frac{205}{2070} = \frac{41}{414}$
   Вычислим вторую дробь: $\frac{3 - \frac{9}{5}}{27} = \frac{\frac{6}{5}}{27} = \frac{2}{45}$
   Окончательное вычисление:
   $\frac{41}{414} - \frac{2}{45} = \frac{205 - 414}{2070} = \frac{-209}{2070}$
   $\frac{-209}{2070} + 2,5 = \frac{-209}{2070} + \frac{75}{30} = \frac{-209 + 5175}{2070} = \frac{102}{35} = 2\frac{32}{35}$
   Ответ: $2\frac{32}{35}$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ (2x-1)^2 + 2(x+1) = (2x+1)^2 - 2(3x+1) \]
   Решение:
   Раскрываем скобки:
   $4x^2 - 4x + 1 + 2x + 2 = 4x^2 + 4x + 1 - 6x - 2$
   Упрощаем:
   $4x^2 - 2x + 3 = 4x^2 - 2x - 1$
   Переносим все члены влево:
   $4 = 0$ (противоречие)
   Ответ: Корней нет.
3. Задайте линейную функцию формулой, проходящую через $M(1;4)$ и не пересекающую $y=-3x+1$:
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = -3$
   Уравнение: $y = -3x + b$
   Подставляем координаты точки:
   $4 = -3\cdot1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 7$
   Ответ: $y = -3x +7$.
4. Сократите дробь: \[ \frac{c^2 -2c -d^2 +1}{c^2 -2cd +d^2 -1} \]
   Решение:
   Разложим числитель: $(c-1)^2 - d^2 = (c-1-d)(c-1+d)$
   Разложим знаменатель: $(c-d)^2 -1 = (c-d-1)(c-d+1)$
   Сокращаем: $\frac{c+d-1}{c-d+1}$
   Ответ: $\dfrac{c+d-1}{c-d+1}$.
5. Докажите, что $8^7 -4^{11} +64^4$ кратно 28:
   Решение:
   Представим степени как степени двойки:
   $8^7 =2^{21},\quad4^{11}=2^{22},\quad64^4=2^{24}$
   Выражение: $2^{21}(1 -2 +8) =2^{21}\cdot7 =7\cdot4\cdot2^{19}$
   Ответ: Кратно 28.
6. Вычислите: \[ \frac{7^6 \cdot22^3 \cdot25^2 \cdot11^{18} \cdot28^4}{14^3 \cdot\left(\frac{8}{11}\right)^4 \cdot44^2 \cdot77^6} \]
   Решение:
   Разложим на множители:
   $7^6\cdot(2\cdot11)^3\cdot5^4\cdot11^{18}\cdot(2^2\cdot7)^4$ в числителе
   $(2\cdot7)^3\cdot8^4\cdot(4\cdot11)^2\cdot(7\cdot11)^6$ в знаменателе
   Сокращаем: $\dfrac{5^4\cdot7\cdot11^{17}}{2^8}$
   Ответ: $\dfrac{5^4\cdot7\cdot11^{17}}{2^8}$.
7. Определите процент серебра в сплаве:
   Решение:
   Масса серебра: $25\cdot0,84 + 12,5\cdot0,72 =21 + 9 =30$ кг
   Общая масса: $25 + 12,5 =37,5$ кг
   Процент: $\dfrac{30}{37,5}\cdot100% =80\%$
   Ответ: $80\%$.
8. Найдите длину биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$:
   Решение:
   Формула биссектрисы: $AD = \dfrac{2AB \cdot AC \cdot \cos\frac{A}{2}}{AB + AC}$
   Вычисления дают: $AD =3\sqrt{7}$ см
   Ответ: $3\sqrt{7}$ см.
9. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$:
   Решение:
   По теореме Пифагора: $\sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 13^2} =26$ см
   Ответ: 26 см.
10. Доказательство равнобедренности треугольника:
    Решение:
    Из равенства $HK=HM$ следует равенство углов: $\angle ABC = \angle BAC$
    Ответ: Треугольник равнобедренный.
11. Найдите углы контактного треугольника:
    Решение:
    Углы вычисляются как: $90^\circ -\frac{\alpha}{2}$
    Для данных углов: $75^\circ$, $55^\circ$, $50^\circ$
    Ответ: $75^\circ$, $55^\circ$, $50^\circ$.
12. Определите стороны треугольника:
    Решение:
    По теореме Пифагора для высоты:
    Боковые стороны: $\sqrt{24^2 +10^2} =26$ см
    Основание: $2\cdot10 =20$ см
    Ответ: 26 см, 26 см, 20 см.