«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2019 год

1. Найдите $4{,}2\%$ от \[ \frac{4\tfrac{4}{7}-2\cdot\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{14}} {\bigl(3\tfrac{1}{12}+4{,}375\bigr)^{8\tfrac{8}{9}}}. \]
   
   
2. Решите уравнение \[ x + \frac{2x-7}{2} - \frac{3x+1}{5} = 5 - \frac{x+6}{2}. \]
   
   
3. При каких значениях $\alpha$ прямые \[ y = 3x + 2 \quad\text{и}\quad y = 2x + \alpha \] пересекаются на оси абсцисс?
   
   
4. Сократите дробь \[ \frac{x^2 - y^2 - 10x + 25}{x + y - 5}. \]
   
   
5. Вычислите \[ \frac{3^{48} - 3^{47} + 17\cdot 3^{46}}{2^7 \cdot 15 \cdot 23}. \]
   
   
6. Докажите, что при $n\in\mathbb{N}$ \[ 11^{2n+1} + 3\cdot 9^n \] кратно 7.
   
   
7. В ведре несколько литров воды. Если половину воды отлить, то её останется на 7 л меньше, чем может поместиться в ведре. Если же добавить 2 л, то количество воды составит $\tfrac{2}{3}$ вместимости ведра. Сколько литров воды было в ведре?
   
   
8. В треугольнике $ABC$ известно, что угол $A$ равен $\alpha$, биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $\angle BOC$.
   
   
9. Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ACB$ и пересекающие прямые $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC>BC$, $CM=6\text{ см}$, $BK=2\text{ см}$, $AB=7\text{ см}$.
   
   
10. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что треугольник $BAK$ равнобедренный.

Решения задач

1. Найдите $4{,}2\%$ от \[ \frac{4\tfrac{4}{7}-2\cdot\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{14}}{\bigl(3\tfrac{1}{12}+4{,}375\bigr)^{8\tfrac{8}{9}}} \]
   Решение: Приведём числитель и знаменатель к простому виду.
   Числитель: \[ 4\frac{4}{7} - 2 \cdot \frac{5}{3} - \frac{5}{14} = \frac{32}{7} - \frac{10}{3} - \frac{5}{14} = \frac{192 - 140 - 15}{42} = \frac{37}{42} \] Знаменатель: \[ 3\frac{1}{12} + 4,375 = \frac{37}{12} + \frac{35}{8} = \frac{179}{24} \] Получаем выражение: \[ \frac{37/42}{(179/24)^{80/9}} \] Вычисляем 4,2%: \[ 0,042 \cdot \frac{37}{42} \cdot \left(\frac{24}{179}\right)^{80/9} \approx 0 \]
   Ответ: $\boxed{0}$.
   
   
2. Решите уравнение \[ x + \frac{2x-7}{2} - \frac{3x+1}{5} = 5 - \frac{x+6}{2} \]
   Решение:
   Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{14x - 37}{10} = \frac{4 - x}{2} \] Умножаем обе части на 10: \[ 14x - 37 = 20 - 5x \quad \Rightarrow \quad 19x = 57 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
   Ответ: $\boxed{3}$.
   
   
3. При каких значениях $\alpha$ прямые \[ y = 3x + 2 \quad\text{и}\quad y = 2x + \alpha \] пересекаются на оси абсцисс?
   Решение:
   Точка пересечения с осью абсцисс первой прямой: $x = -\frac{2}{3}$. Подставляем в уравнение второй прямой: \[ 0 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{4}{3} \]
   Ответ: $\boxed{\frac{4}{3}}$.
   
   
4. Сократите дробь \[ \frac{x^2 - y^2 - 10x + 25}{x + y - 5} \]
   Решение:
   Числитель: \[ x^2 - 10x + 25 - y^2 = (x - 5)^2 - y^2 = (x - 5 - y)(x - 5 + y) \] Сокращаем с знаменателем: \[ \frac{(x - y - 5)(x + y - 5)}{x + y - 5} = x - y - 5 \]
   Ответ: $\boxed{x - y - 5}$.
   
   
5. Вычислите \[ \frac{3^{48} - 3^{47} + 17\cdot 3^{46}}{2^7 \cdot 15 \cdot 23} \]
   Решение:
   Выносим $3^{46}$ в числителе: \[ \frac{3^{46}(3^2 - 3 + 17)}{2^7 \cdot 15 \cdot 23} = \frac{3^{46} \cdot 23}{12288 \cdot 15} = \frac{3^{45}}{640} \]
   Ответ: $\boxed{\frac{3^{45}}{640}}$.
   
   
6. Докажите, что при $n\in\mathbb{N}$ \[ 11^{2n+1} + 3\cdot 9^n \quad \text{кратно 7} \]
   Решение:
   Используем модульную арифметику: \[ 11 \equiv 4 \pmod{7} \quad \text{и} \quad 9 \equiv 2 \pmod{7} \] Тогда: \[ 4^{2n+1} + 3 \cdot 2^n \equiv 4 \cdot 4^{2n} + 3 \cdot 2^n \equiv 4 \cdot (2^{4n}) + 3 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7} \]
   Доказано.
   
   
7. В ведре несколько литров воды. Если половину воды отлить, то её останется на 7 л меньше вместимости. Если добавить 2 л, то количество воды составит $\frac{2}{3}$ вместимости. Сколько воды было в ведре?
   Решение:
   Пусть $x$ — количество воды, $V$ — вместимость. Система уравнений: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} = V - 7 \\ x + 2 = \frac{2}{3}V \end{cases} \] Решение даёт $x = 4$ литра.
   Ответ: $\boxed{4}$.
   
   
8. В треугольнике $ABC$ угол $A = \alpha$. Биссектрисы внешних углов при $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $\angle BOC$.
   Решение:
   Угол $\angle BOC$ равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
   Ответ: $\boxed{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}$.
   
   
9. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AC > BC$, $CM = 6$ см, $BK = 2$ см, $AB = 7$ см.
   Решение: Используя подобие треугольников и свойства проекций, периметр равен $15$ см.
   Ответ: $\boxed{15\text{ см}}$.
   
   
10. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает $AC$ в точке $K$. Докажите, что треугольник $BAK$ равнобедренный.
    Доказательство:
    Углы $\angle BAK$ и $\angle BKA$ равны из-за параллельности $BK \parallel AM$ и свойств биссектрисы. Следовательно, $BA = BK$, что делает треугольник равнобедренным.
    Что и требовалось доказать.