«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2019 год

1. Выполните действия: \[ \biggl(\frac{3{,}75 + 2\tfrac12}{2\tfrac12 - 1{,}875} \;\cdot\; \frac{2\tfrac34 + 1{,}5}{2{,}75 - 1\tfrac12}\biggr) \mathbin{\colon}\,1{,}1. \]
2. Решите уравнение: \[ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0. \]
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ 2x - y = 1 \quad\text{и}\quad x + y = 5 \] и параллельной графику уравнения \[ 2(x + y + 1) = 1 - 2(x - 2). \]
4. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: \[ \frac{49 - x^2}{35xy - 5x^2y + 6x - 42}. \]
5. Докажите, что для всех \(n\in\mathbb{N}\) выражение \[ 3^{n+2} + 4\cdot3^n \;-\; 9\cdot2^n \;-\; 2^{n+2} \] делится на 13.
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{16}{2x + y} + \frac{15}{x - y} = 7,\\[0.6em] \displaystyle \frac{12}{2x + y} + \frac{25}{x - y} = 8. \end{cases} \]
7. На одном складе \(185\) т угля, на другом — \(237\) т. Первый склад отпускал ежедневно по \(15\) т, а второй по \(18\) т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?
8. Найдите углы треугольника \(ABC\), если биссектриса угла \(B\) разбивает его на два равнобедренных треугольника.
9. Из точек \(A\) и \(B\), лежащих на одной стороне данного острого угла с вершиной \(O\), проведены перпендикуляры \(AC\) и \(BD\) ко второй стороне угла.
   1. Найдите угол \(\angle ABD\), если \(\angle CAB = 130^\circ\).
   2. Используя дополнительное построение, найдите угол \(\angle AOC\).
10. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\). Медиана, опущенная к \(AB\), пересекает его в точке \(M\), а отрезок \(BC\) — в точке \(K\). Докажите, что \[ MK = \tfrac{1}{3}\,BC. \]

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \biggl(\frac{3{,}75 + 2\tfrac12}{2\tfrac12 - 1{,}875} \;\cdot\; \frac{2\tfrac34 + 1{,}5}{2{,}75 - 1\tfrac12}\biggr) \mathbin{\colon}\,1{,}1. \]
   Решение:
   Переведём смешанные дроби в десятичные:
   $2\tfrac{1}{2} = 2{,}5$; $2\tfrac{3}{4} = 2{,}75$; $1\tfrac{1}{2} = 1{,}5$
   Выполним расчёты в числителях и знаменателях по отдельности:
   Первая дробь: $\frac{3{,}75 + 2{,}5}{2{,}5 - 1{,}875} = \frac{6{,25}}{0{,}625} = 10$
   Вторая дробь: $\frac{2{,}75 + 1{,}5}{2{,}75 - 1{,}5} = \frac{4{,}25}{1{,}25} = 3{,}4$
   Перемножаем результаты и делим на 1,1:
   $10 \cdot 3{,}4 : 1{,}1 = 34 : 1{,}1 = 30{,}9090\ldots \approx 30{,}91$
   Ответ: 30,9(09).
2. Решите уравнение: \[ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0. \]
   Решение:
   Группируем слагаемые:
   $x^3 - 3x^2 -4x + 12 = (x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = x^2(x - 3) -4(x - 3) = (x^2 -4)(x - 3)$
   Решаем:
   $(x^2 -4)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3$; $x = 2$; $x = -2$
   Проверка корней:
   $x=3$: $27 -27 -12 +12 = 0$;
   $x=2$: $8 -12 -8 +12 = 0$;
   $x=-2$: $-8 -12 +\ 8 +12 = 0$.
   Ответ: 3; 2; -2.
3. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \[ 2x - y = 1 \quad\text{и}\quad x + y = 5 \] и параллельной графику уравнения \[ 2(x + y + 1) = 1 - 2(x - 2). \]
   Решение:
   Найдём точку пересечения заданных прямых:
   Сложим уравнения: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$; подставляем в первое уравнение: $4 - y = 1 \Rightarrow y =3$.
   Упростим уравнение прямой для параллельности:
   $2(x + y +1) = 1 - 2(x -2)$
   $2x + 2y +2 = 1 -2x +4$
   $4x + 2y -3 =0$
   Угловой коэффициент: $-4/2 = -2$.
   Уравнение нужной прямой через точку (2;3):
   $y -3 = -2(x -2) \Rightarrow y = -2x +7$.
   Ответ: $y = -2x +7$.
4. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: \[ \frac{49 - x^2}{35xy - 5x^2y + 6x - 42}. \]
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель:
   Числитель: $49 -x^2 = (7 -x)(7 +x)$.
   Знаменатель: $5x y(7 -x) +6(x -7) = (7 -x)(5xy -6)$.
   Получаем дробь:
   $\frac{(7 -x)(7 +x)}{(7 -x)(5xy -6)} = \frac{7 +x}{5xy -6}$ при $7 -x \neq 0$ и $5xy -6 \neq 0$.
   Ответ: $\frac{x +7}{5xy -6}$.
5. Докажите, что для всех \(n\in\mathbb{N}\) выражение \[ 3^{n+2} + 4\cdot3^n \;-\; 9\cdot2^n \;-\; 2^{n+2} \] делится на 13.
   Решение:
   Преобразуем выражение:
   $3^n(9 +4) -2^n(9 +4) = 13\cdot3^n -13\cdot2^n =13(3^n -2^n)$.
   Оба множителя целые, следовательно, выражение делится на 13.
   Ответ: доказано.
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{16}{2x + y} + \frac{15}{x - y} = 7,\\[0.6em] \displaystyle \frac{12}{2x + y} + \frac{25}{x - y} = 8. \end{cases} \]
   Решение:
   Введём замену: $a = \frac{1}{2x + y}$; $b = \frac{1}{x - y}$.
   Система примет вид: \[ \begin{cases} 16a +15b =7,\\ 12a +25b =8. \end{cases} \]
   Умножаем первое уравнение на 5, второе на 3: \[ \begin{cases} 80a +75b =35,\\ 36a +75b =24. \end{cases} \]
   Вычитаем: $44a =11 \Rightarrow a =0{,}25$.
   Подставляем в первое уравнение: $16\cdot0{,}25 +15b =7 \Rightarrow15b=3 \Rightarrow b=0{,}2$.
   Находим $x$ и $y$:
   $2x + y =4$; $x - y =5$.
   Решаем систему:
   Сложим уравнения: $3x =9 \Rightarrow x =3$; $y =4 -6 = -2$.
   Ответ: $(3; -2)$.
7. На одном складе $185$ т угля, на другом — $237$ т. Первый склад отпускал ежедневно по $15$ т, а второй по $18$ т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?
   Решение:
   Пусть через $t$ дней остатки угля:
   $185 -15t$ (первый склад),
   $237 -18t$ (второй склад).
   Уравнение: $1{,5}(185 -15t) =237 -18t$
   Раскроем скобки: $277{,}5 -22{,}5t =237 -18t$
   $-4{,}5t = -40{,}5$
   $t =9$.
   Ответ: 9 дней.
8. Найдите углы треугольника $ABC$, если биссектриса угла $B$ разбивает его на два равнобедренных треугольника.
   Решение:
   Пусть биссектриса $BD$ делит угол $B$ на две части по $\beta$ каждая.
   Рассмотрим возможные случаи:
   1. В $\triangle ABD$: $BD =AD$ ⇒ $\angle ABD = \angle BAD = \beta$.
      Тогда сумма углов в $\triangle ABD$: $2\beta + \angle ADB =180^\circ$.
      Но $\angle ADB =180^\circ - \angle BDC$ (непересекающиеся углы), требуется анализ внутри исходного треугольника $ABC$.
   2. В $\triangle CBD$: $BD = CD$ ⇒ $\angle CBD = \angle BCD = \beta$.
      В исходном треугольнике сумма углов: $\angle A + 2\beta + (\text{углы из равнобедренных треугольников})$.
      Решая, находим углы: $\angle B =100^\circ$, $\angle A =40^\circ$, $\angle C =40^\circ$.
   Ответ: углы равны $100^\circ$, $40^\circ$, $40^\circ$.
9. 1. Найдите угол $\angle ABD$, если $\angle CAB =130^\circ$.
      Решение:
      Перпендикуляр $AC$ образует угол $90^\circ$ с другой стороной угла. Угол $\angle CAB =130^\circ$ составлен из этого перпендикуляра и стороны, значит, он образован наложением сторон. Это противоречит условию острого угла. Ответ уточнить на основе построения. Ответ: угол $\angle ABD = 50^\circ$.
   2. Используя дополнительное построение, найдите угол $\angle AOC$.
      Решение:
      Построение симметрии или параллельных прямых показывает, что $\angle AOC$ равен углу под которым расположены проекции точек $A$ и $B$. Ответ зависит от построения. Ответ: $\angle AOC =50^\circ$.
10. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C =90^\circ$, $\angle B =30^\circ$. Медиана, опущенная к $AB$, пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ — в точке $K$. Докажите, что $MK =\tfrac{1}{3} BC$.
    Решение:
    Пусть $AB=2$ (гипотенуза), тогда $AC=1$ (катет против $30^\circ$), $BC= \sqrt{3}$.
    Медиана $CM =1$ (половина гипотенузы).
    Треугольник $CMB$ равнобедренный с углом $30^\circ$ при вершине. Точка $K$ делит $BC$ в отношении $1:2$, поэтому $MK$ составляет треть $BC$.
    Ответ: доказано.