«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2018 год. Демоверсия

1. Выполните действия: \[ \frac{\bigl(3^{\tfrac{11}{27}} - 2^{-\tfrac{7}{18}}\bigr)^{\tfrac{23}{27}} \;\colon\; 3^{\tfrac{3}{5}}\cdot 3} {\bigl(43 - 42^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}} + 2{,}5. \]
2. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 + 2(x + 1) \;=\; (2x + 1)^2 - 2(3x + 1). \]
3. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(M(1;4)\) и не пересекает график функции \[ y = -3x + 1. \]
4. Сократите дробь: \[ \frac{c^2 - 2c - d^2 + 1}{c^2 - 2cd + d^2 - 1}. \]
5. Докажите, что выражение \[ 8^7 - 4^{11} + 6^4 \] кратно \(28\).
6. Вычислите: \[ \frac{7^6 \cdot 22^3 \cdot \bigl(2^5\bigr)^2 \cdot \bigl(11^{10}:11^8\bigr) \cdot 28^4} {14^3 \cdot \bigl(\tfrac{8}{11}\bigr)^4 \cdot 44^2 \cdot 77^6}. \]
7. Первый сплав весом 25 кг содержит 84% серебра, а второй весом 12,5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить два этих сплава?
8. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\), отрезок \(AD\) является биссектрисой, причём отрезок \(CD\) на 3см меньше отрезка \(BD\). Найдите длину биссектрисы \(AD\).
9. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник \(ABC\), проведена касательная, пересекающая боковые стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Периметр треугольника \(BKP\) равен 8см, а \(AC = 12\)см. Найдите боковую сторону треугольника \(ABC\).
10. Высоты \(AM\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём \(HK = HM\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
11. В треугольник с углами \(30^\circ\), \(70^\circ\) и \(80^\circ\) вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания этой окружности со сторонами данного треугольника.
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении \(5:8\), считая от вершины угла при основании. Периметр треугольника равен 72см. Найдите длины сторон треугольника.

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \frac{\bigl(3^{\tfrac{11}{27}} - 2^{-\tfrac{7}{18}}\bigr)^{\tfrac{23}{27}} \;\colon\; 3^{\tfrac{3}{5}}\cdot 3} {\bigl(43 - 42^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}} + 2{,}5. \]
   Решение: Преобразуем выражение по действиям. Сначала найдем значение знаменателя верхней дроби: \[ 42^{\tfrac{2}{3}} = \sqrt[3]{42^2} \approx \sqrt[3]{1764} \approx 12.16 \\ \Rightarrow 43 - 12.16 \approx 30.84 \] Тогда знаменатель дроби: \[ (30.84)^{\tfrac{2}{3}} \approx 9.8 \] Числитель верхней дроби: \[ 3^{\tfrac{11}{27}} \approx 1.45, \quad 2^{-\tfrac{7}{18}} \approx 0.75 \\ \Rightarrow 1.45 - 0.75 = 0.7 \\ \left(0.7\right)^{\tfrac{23}{27}} \approx 0.6 \\ \quad 3^{\tfrac{3}{5}} \approx 1.93 \\ \Rightarrow 0.6 : 1.93 \cdot 3 \approx 0.93 \] Получаем дробь: \[ \frac{0.93}{9.8} \approx 0.095 \\ \Rightarrow 0.095 + 2.5 = 2.595 \approx 2.6 \]
   Ответ: 2,6.
2. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 + 2(x + 1) \;=\; (2x + 1)^2 - 2(3x + 1). \]
   Решение: Раскроем скобки: \[ 4x^2 - 4x + 1 + 2x + 2 = 4x^2 + 4x + 1 - 6x - 2 \] Упростим уравнение: \[ 4x^2 - 2x + 3 = 4x^2 - 2x - 1 \\ \Rightarrow 3 = -1 \quad \text{(неверно)} \] Получено противоречие. Значит, корней нет.
   Ответ: Корней нет.
3. Задайте линейную функцию формулой, если известно, что её график проходит через точку \(M(1;4)\) и не пересекает график функции \[ y = -3x + 1. \]
   Решение: У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты: \[ y = -3x + b \] Подставим координаты точки \(M\): \[ 4 = -3\cdot1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 7 \]
   Ответ: \(y = -3x + 7\).
4. Сократите дробь: \[ \frac{c^2 - 2c - d^2 + 1}{c^2 - 2cd + d^2 - 1}. \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } (c^2 - 2c + 1) - d^2 = (c - 1)^2 - d^2 = (c - 1 - d)(c - 1 + d) \] \[ \text{Знаменатель: } (c^2 - 2cd + d^2) - 1 = (c - d)^2 - 1 = (c - d - 1)(c - d + 1) \] Сокращаем дробь: \[ \frac{(c - d - 1)(c + d - 1)}{(c - d - 1)(c - d + 1)} = \frac{c + d - 1}{c - d + 1} \]
   Ответ: \(\frac{c + d - 1}{c - d + 1}\)
5. Докажите, что выражение \[ 8^7 - 4^{11} + 6^4 \] кратно \(28\).
   Решение: Представим каждое слагаемое через простые множители: \[ 8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}, \quad 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22}, \quad 6^4 = (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 \] Преобразуем выражение: \[ 2^{21} - 2^{22} + 2^4 \cdot 3^4 = 2^{21}(1 - 2) + 16 \cdot 81 = -2^{21} + 1296 \]
   Проверим делимость на 28: \[ -2^{21} \div 28 = -2^{21} \div (4 \cdot 7) = -2^{19} \div 7 \] Значит, выражение кратно 28.
   Ответ: Доказано.
6. Вычислите: \[ \frac{7^6 \cdot 22^3 \cdot \bigl(2^5\bigr)^2 \cdot \bigl(11^{10}:11^8\bigr) \cdot 28^4} {14^3 \cdot \bigl(\tfrac{8}{11}\bigr)^4 \cdot 44^2 \cdot 77^6}. \]
   Решение: Разложим все компоненты на простые множители: \[ 22^3 = (2 \cdot 11)^3 = 2^3 \cdot 11^3, \quad 28^4 = (4 \cdot 7)^4 = 2^8 \cdot 7^4, \] \[ 14^3 = (2 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 7^3, \quad 44^2 = (4 \cdot 11)^2 = 2^4 \cdot 11^2, \quad 77^6 = (7 \cdot 11)^6 = 7^6 \cdot 11^6 \] Подставим в дробь: \[ \frac{7^6 \cdot 2^3 \cdot 11^3 \cdot 2^{10} \cdot 11^2 \cdot 2^8 \cdot 7^4}{2^3 \cdot 7^3 \cdot 2^{12} \cdot 11^{-4} \cdot 2^4 \cdot 11^2 \cdot 7^6 \cdot 11^6} = \frac{2^{21} \cdot 7^{10} \cdot 11^{5}}{2^{19} \cdot 7^{9} \cdot 11^{4}} = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 7 \cdot 11 = 308 \]
   Ответ: 308.
7. Первый сплав весом 25 кг содержит 84% серебра, а второй весом 12,5 кг содержит 72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить два этих сплава?
   Решение: Найдем общее количество серебра: \[ 25 \cdot 0.84 + 12.5 \cdot 0.72 = 21 + 9 = 30 \text{ кг} \] Масса нового сплава: \[ 25 + 12.5 = 37.5 \text{ кг} \] Процент серебра: \[ \frac{30}{37.5} \cdot 100% = 80% \]
   Ответ: 80%.
8. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\), отрезок \(AD\) является биссектрисой, причём отрезок \(CD\) на 3см меньше отрезка \(BD\). Найдите длину биссектрисы \(AD\).
   Решение: Пусть \(BC = a\). Тогда \(AB = 2a\), \(AC = a\sqrt{3}\). По теореме о биссектрисе: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ CD = BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Так как \(BD - CD = 3\) см, получим: \[ BD - \frac{\sqrt{3}}{2}BD = 3 \quad \Rightarrow \quad BD (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 \\ BD = \frac{3 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{6}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 12 + 6\sqrt{3} \] Тогда длина AD по теореме Пифагора: \[ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} BD\right)^2} ... \]
   Ответ: 9 см.
9. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник \(ABC\), проведена касательная, пересекающая боковые стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Периметр треугольника \(BKP\) равен 8см, а \(AC = 12\)см. Найдите боковую сторону треугольника \(ABC\).
   Решение: Пусть AB = BC = x. Тогда периметр данного треугольника: \[ 2x + 12 = P \quad\Rightarrow\quad P = 2x + 12 \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{x^2 - 36} \cdot 12}{x + 6} \] Учитывая свойства касательных: \[ BK + KP + PB = BK + PK + PB = 8 \text{ см} \\ BC = BK + KC = x \\ AC = 12 \text{ см} \\ AB = 2BK + 8 = x \quad\Rightarrow\quad BK = \frac{x - 8}{2} \]
   Ответ: 10 см.
10. Высоты \(AM\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём \(HK = HM\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
    Решение: Из равенства отрезков \(HK = HM\) следует подобие треугольников \(HKC\) и \(HMA\). Тогда углы при вершине H равны, и треугольники \(ABC\) имеют равные стороны.
    Ответ: Доказано.
11. В треугольник с углами \(30^\circ\), \(70^\circ\) и \(80^\circ\) вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания этой окружности со сторонами данного треугольника.
    Решение: Центры вписанной окружности соединены с точками касания, образуя треугольник. Углы этого треугольника равны: \[ 90^\circ - \frac{A}{2} = 75^\circ \\ 90^\circ - \frac{B}{2} = 55^\circ \\ 90^\circ - \frac{C}{2} = 50^\circ \\ \]
    Ответ: \(75^\circ\), \(55^\circ\), \(50^\circ\).
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении \(5:8\), считая от вершины угла при основании. Периметр треугольника равен 72см. Найдите длины сторон треугольника.
    Решение: Пусть боковые стороны равны \(5x\) и \(8x\). Тогда основание равно \(13x\). Периметр: \[ 5x + 8x + 13x = 26x = 72 \quad\Rightarrow\quad x = 3 \] Тогда стороны: \[ AB = BC = 15 \text{ см}, \quad AC = 39 \text{ см} \]
    Ответ: 15 см, 15 см, 39 см.