«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2018 год

1. Вычислите: \[ \frac{20^{\frac{8}{15}}\cdot 7{,}5 - 54{,}6 \cdot 2^{\tfrac{6}{5}}} {3^{\tfrac{13}{21}}\cdot 8{,}4 - 34{,}4\cdot 4^{\tfrac{1}{3}}} + 43{,}75\colon 11^{2+\tfrac{1}{3}} + 24{,}6\colon 1^{\tfrac{1}{5}}. \]
2. Решите уравнение: \[ x^{2} - 2xy + y^{2} - 4x + 4y + 4 + |x + y| = 0. \]
3. Постройте график уравнения: \[ \frac{xy - x^{2} - y + 1}{x - 1} = 0. \]
4. Разложите на множители многочлен: \[ x^{2} - 2y^{2} - xy - x - y. \]
5. Найдите все значения \(p\), при которых система \[ \begin{cases} p x + y = 3,\\ 4x + 2y = 7 \end{cases} \] не имеет решений.
6. Докажите, что значение числового выражения \[ 11^{11} + 12^{12} + 13^{13} \] делится на 10.
7. Решите задачу. Сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили $\tfrac{6}{7}$ содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально?
8. В треугольнике \(ABC\) известно, что угол \(A\) равен \(\alpha\), биссектрисы внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(\angle BOC\).
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(AC\), равной 12см, проведена высота \(BD\). Найдите \(CD\) и \(DA\), если угол \(A = 30^\circ\).
10. 100 синиц за 100 дней съедают 100кг зерна. Сколько зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{20^{\frac{8}{15}}\cdot 7{,}5 - 54{,}6 \cdot 2^{\tfrac{6}{5}}} {3^{\tfrac{13}{21}}\cdot 8{,}4 - 34{,}4\cdot 4^{\tfrac{1}{3}}} + 43{,}75\colon 11^{2+\tfrac{1}{3}} + 24{,}6\colon 1^{\tfrac{1}{5}}. \] Решение:
   Упростим слагаемые:
   1. Первое слагаемое: подбираем эквивалентные выражения для степеней и упрощаем:
      Числитель: $20^{8/15} \cdot 7,5 - 54,6 \cdot 2^{6/5} ≈ 4 \cdot 7,5 - 54,6 \cdot 2^{1,2} ≈ 30 - 75 ≈ -45$
      Знаменатель: $3^{13/21}\cdot 8,4 -34,4\cdot 4^{1/3} ≈ 1,5 \cdot 8,4 -34,4 \cdot 1,6 ≈ 12,6 -54,86 ≈ -42,26$
      Первая дробь: $\frac{-45}{-42,26} ≈ 1,065$, округлим как 1.
   2. Второе слагаемое: $43,75 : 11^{7/3} ≈ 43,75 : 169,5 ≈ 0,258$, округлим как 0.
   3. Третье слагаемое: $24,6 : 1^{1/5} = 24,6$.
   Ответ: $\c{\sim}1 + 0 + 24{,}6 ≈ 25{,}6.\quad$
   
   
2. Решите уравнение: \[ x^{2} - 2xy + y^{2} - 4x + 4y + 4 + |x + y| = 0. \] Решение:
   Преобразуем уравнение:
   $(x - y)^2 -4(x - y) +4 + |x + y| =0 \Rightarrow (x - y -2)^2 + |x + y| =0$.
   Каждое слагаемое равно нулю:
   $\begin{cases} x - y -2 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = 2 \\ x = -y \end{cases} \Rightarrow x = 1,\ y = -1$.
   Ответ: $(1; -1)$.
3. Постройте график уравнения: \[ \frac{xy - x^{2} - y + 1}{x - 1} = 0. \] Решение:
   Преобразуем уравнение при $x \neq 1$:
   $xy -x^2 - y +1 =0 \Rightarrow y(x -1) - (x^2 -1) =0 \Rightarrow (x -1)(y - (x +1)) =0$.
   $y = x + 1$ (при $x \neq1$ выколота точка $(1; 2)$).
   Ответ: прямая $y =x +1$ без точки $(1; 2)$.
4. Разложите на множители многочлен: \[ x^{2} - 2y^{2} - xy - x - y. \] Решение:
   Сгруппируем слагаемые:
   $x^2 -xy -2y^2 -x -y = (x^2 -xy -2y^2) - (x +y) = (x -2y)(x +y) - (x +y) = (x + y)(x -2y -1)$.
   Ответ: $(x+y)(x-2y-1)$.
5. Найдите все значения \(p\), при которых система \[ \begin{cases} p x + y = 3,\\ 4x + 2y = 7 \end{cases} \] не имеет решений. Решение:
   Система не имеет решений, если прямые параллельны:
   $\frac{p}{4} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{7} \Rightarrow p = 2$.
   Ответ: $p=2$.
6. Докажите, что значение числового выражения \[ 11^{11} + 12^{12} + 13^{13} \] делится на 10. Решение:
   Последняя цифра каждого слагаемого:
   $11^{11} \rightarrow 1$; $12^{12} \rightarrow6$; $13^{13}\rightarrow3$.
   Сумма последних цифр: $1+6+3=10$.
   Ответ: Сумма кратна 10.
7. Первоначальный сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше цинка. После выделения меди и цинка осталось 200г. Найти первоначальную массу. Решение:
   Пусть цинка было $x$ г, меди — $x +640$ г.
   После переработки осталось:
   $\frac{1}{7}(x+640) + 0{,}4x =200$.
   Решение уравнения дает $x=200$, исходный вес $2x +640 =1040$ г.
   Ответ: 1040 г.
8. В треугольнике \(ABC\) угол \(A = \alpha\), найти \(\angle BOC\). Решение:
   Биссектрисы внешних углов при B и C пересекаются в точке O.
   $\angle BOC =90^\circ -\frac{\alpha}{2}$.
   Ответ: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(A =30^\circ\) и гипотенузой \(AC=12\) см найти отрезки \(CD\) и \(DA\). Решение:
   Катет \(BC=6\) см, $AB=6\sqrt{3}$ см.
   Высота $BD=3\sqrt{3}$ см.
   $CD = \frac{BC^2}{AC} =3$ см, $DA=AC -CD=9$ см.
   Ответ: CD=3 см; DA=9 см.
10. Задача на пропорции: 10 синиц за 10 дней съедят:
    Исходя из условия:
    $100$ синиц — $100$ дней — $100$ кг → $10$ синиц — $10$ дней — $1$ кг.
    Ответ: 1 кг.