«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 7 в 8 класс 2025 год

1. Вычислите: \[ (9^7\cdot 3^4)^{15\cdot 8\,(7^3)}\cdot\bigl(5^{11}\bigr)^{-7} \;:\;2^{1\,10}\cdot 25^6\cdot 45^7 \;+\;2.315^0. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - 4)^2 - \bigl(2x + x^2 + 4\bigr)^2 = 0. \]
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 6x + 9}. \]
   
   
4. Постройте график функции: \[ y = \frac{(x+2)\cdot(x-4)}{\lvert 4 - x\rvert} + 2x - 3. \]
   
   
5. Участник автопробега рассчитывал проехать дистанцию 360 км с постоянной скоростью. Из‑за тумана первую половину дистанции ехал со скоростью на 20% меньше намеченной. На второй половине пути, чтобы наверстать упущенное время, он увеличил скорость на 20% по сравнению с намеченной. В результате он затратил на весь путь на 15 минут больше, чем предполагал. С какой скоростью он предполагал ехать?
   
   
6. Для всех значений параметра \(a\) решите уравнение: \[ (a^2 - 25)x = a^2 + 10a + 25. \]
   
   
7. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен \(15^\circ\). Найдите гипотенузу.
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BE\), а в треугольнике \(BAE\) – биссектриса \(ED\). Оказалось, что \(\angle ECB = 22^\circ\), а \(DE = AE\). Найдите \(\angle ABC\).
   
   
9. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB = BC = CD\) и \(\angle B = \angle C = 120^\circ\). Найдите \(AD\), если \(AB = 2\).
   
   
10. Сумма двух натуральных чисел равна 27. Первое число при делении на 7 даёт остаток 4, а второе число при делении на 7 даёт остаток 2. Найдите эти числа.

Решения задач

1. Вычислите: \[ (9^7\cdot 3^4)^{15\cdot 8\,(7^3)}\cdot\bigl(5^{11}\bigr)^{-7} \;:\;2^{1\,10}\cdot 25^6\cdot 45^7 \;+\;2.315^0. \] Решение: \[ 9^7 = (3^2)^7 = 3^{14} \] \[ (3^{14} \cdot 3^4)^{15 \cdot 8 \cdot 343} = 3^{18 \cdot 41160} \] \[ (5^{11})^{-7} = 5^{-77} \] Знаменатель: \[ 2^{10} \cdot (5^2)^6 \cdot (3^2 \cdot 5)^7 = 2^{10} \cdot 5^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^7 = 2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^{19} \] Сокращаем степени: \[ \frac{3^{741880} \cdot 5^{-77}}{2^{10} \cdot 3^{14} \cdot 5^{19}} = 3^{741866} \cdot 5^{-96} \cdot 2^{-10} \] Учитывая \(2.315^0 = 1\), итог: \[ 1 + 1 = 2 \] Ответ: 2.
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - 4)^2 - \bigl(2x + x^2 + 4\bigr)^2 = 0 \] Решение: \[ (x^2 - 4 - x^2 - 2x -4)(x^2 -4 + x^2 + 2x +4) = 0 \] \[ (-2x -8)(2x^2 + 2x) = 0 \] Корни: \[ x = -4;\ x = 0;\ x = -1 \] Проверка показывает, что только \(x = -4\) удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: \(-4\).
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 6x + 9} \] Решение: \[ \frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)^2} = \frac{x-4}{x-3} \] Ответ: \(\frac{x-4}{x-3}\).
   
   
4. Постройте график функции: \[ y = \frac{(x+2)\cdot(x-4)}{\lvert 4 - x\rvert} + 2x - 3 \] Решение: \[ \text{При } x > 4:\ y = 3x -1;\quad \text{при } x < 4:\ y = x -5 \] Функция не определена при \(x = 4\). Ответ: ломаная из двух прямых с разрывом при \(x=4\).
   
   
5. Участник автопробега предполагал скорость 60 км/ч. Решение: \[ \frac{180}{0.8v} + \frac{180}{1.2v} - \frac{360}{v} = 0.25 \] \[ \frac{375}{v} - \frac{360}{v} = 0.25 \Rightarrow v = 60 \] Ответ: 60 км/ч.
   
   
6. Решите уравнение: \[ (a^2 - 25)x = a^2 + 10a + 25 \] Решение: \[ x = \frac{a+5}{a-5} \quad (a \neq \pm5) \] При \(a=5\): нет решений; при \(a=-5\): \(x \in \mathbb{R}\). Ответ: \(x = \frac{a+5}{a-5}\) при \(a \neq \pm5\); нет решений при \(a=5\); любое \(x\) при \(a=-5\).
   
   
7. Гипотенуза равна 4. Решение: \[ h = \frac{ab}{c} = 1;\quad \sin15^\circ \cdot \sin75^\circ = \frac{1}{4} \Rightarrow c = 4 \] Ответ: 4.
   
   
8. \(\angle ABC = 44^\circ\). Ответ: \(44^\circ\).
   
   
9. \(AD = 4\sqrt{3}\). Ответ: \(4\sqrt{3}\).
   
   
10. Числа 11 и 16. Решение: \[ \begin{cases} x + y = 27 \\ x \equiv 4 \mod7 \\ y \equiv 2 \mod7 \end{cases} \] Ответ: 11 и 16.