«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 6 в 7 класс 2023 год

Физтех-лицей им. П. Л. Капицы

2023

1. Найди 54% от числа: \[ \left(\frac{1{,}47}{1{,}4} - 1{,}5 \right) \cdot \left( -3\dfrac{2}{3} \right) : (-2{,}7), \quad \left( -\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{12} \cdot (-0{,}4) \right) : 4^{16} - 16 \]
   
   
2. Вычисли, выбирая удобный порядок вычислений:
   1. \[ \frac{2{,}2 \cdot (-3{,}7) \cdot (-0{,}9)^2 \cdot (-0{,}16) \cdot 5{,}5}{(-1{,}21) \cdot (-0{,}74) \cdot (-0{,}036) \cdot 1{,}8} \]
   2. \[ \left( -0{,}25 \cdot 0{,}9 \cdot (-4) \right) : (-1{,}45) + \left( 7{,}31 \cdot (-3{,}5) \right) : (-7{,}31) - \left( 0{,}37 : (-0{,}1) \right) \]
   
   
   
3. Упрости выражение: \[ -(-3x + 2) - (-5x + 4) + 2(-x - 5) \] и найди его значение при \(x = -3\).
   
   
4. Реши уравнения:
   1. \( \left| -0{,}56 \right| : |x| = \left| -0{,}7 \right| \)
   2. \( \dfrac{7}{3}x - \dfrac{7}{2} = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{6} \)
   3. \( 0{,}3 (5 - 3y) = -4{,}8 - 0{,}9(y - 7) \)
   4. \( 3a(a + 2)(a - 3\dfrac{1}{3}) = 0 \)
   5. \( \dfrac{x + 3}{0{,}9} = \dfrac{7 - 3x}{-1{,}2} \)
   
   
   
5. Реши задачу с помощью уравнения:
   В одном мешке в 2 раза меньше крупы, чем во втором. Если из второго мешка пересыпать в первый 5 кг, а затем из первого отсыпать 2 кг, то крупы станет поровну. Сколько крупы было в каждом мешке?
   
   
6. Реши задачу с помощью уравнения:
   Катер прошёл за $1{,}6$ ч по течению на $15{,}6$ км больше, чем за $1{,}2$ ч против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера 25 км/ч.
   
   
7. Реши задачу:
   В библиотеке были русские, французские и немецкие книги. Русских — 40% от всех. Количество французских и немецких относилось как \( \dfrac{1}{3} : 0{,}6 \), причём немецких было на 480 больше. Сколько всего книг было в библиотеке?
   
   
8. Из вершины прямого угла проведены лучи, делящие его на 3 части. Первый угол на 40% больше второго, а третий — в 4 раза меньше суммы первого и второго. Найди каждый угол. Сделай чертёж.
   
   
9. В комнате \(6 \times 8\) м положили два ковра \(4 \times 4\) м и \(5 \times 5\) м. Ковры примыкают к противоположным углам. Найди площадь пола, не покрытую коврами.

Решения задач

1. Найди 54% от числа: \[ \left(\frac{1{,}47}{1{,}4} - 1{,}5 \right) \cdot \left( -3\dfrac{2}{3} \right) : (-2{,}7) \] Решение: \[ \frac{1{,}47}{1{,}4} = 1{,}05; \quad 1{,}05 - 1{,}5 = -0{,}45 \] \[ -3\dfrac{2}{3} = -\frac{11}{3}; \quad -0{,}45 \cdot (-\frac{11}{3}) = 1{,}65 \] \[ 1{,}65 : (-2{,}7) = -0{,}(611)...; \quad \text{Округлим до } -0{,}61 \] Второе выражение: \[ \left( -\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{12} \cdot (-0{,}4) \right) : 4^{16} = \left( -\frac{7}{18} - \frac{1}{6} \right) : 4^{16} = -\frac{10}{18} : 4^{16} \approx 0 \] Итоговое число: $-0{,}61 - 16 = -16{,}61$
   54% от $-16{,}61$: $-16{,}61 \cdot 0{,}54 = -8{,}97$
   Ответ: $-9{,}0$.
   
   
2. Вычисли, выбирая удобный порядок вычислений:
   1. \[ \frac{2{,}2 \cdot (-3{,}7) \cdot (-0{,}9)^2 \cdot (-0{,}16) \cdot 5{,}5}{(-1{,}21) \cdot (-0{,}74) \cdot (-0{,}036) \cdot 1{,}8} \] Решение: \[ \frac{2{,}2 \cdot 5{,}5}{1{,}21} = 10; \quad \frac{(-3{,}7)}{-0{,}74} = 5 \] \[ (-0{,}9)^2 \cdot (-0{,}16) = 0{,}81 \cdot (-0{,}16) = -0{,}1296 \] \[ \frac{-0{,}1296}{-0{,}036} = 3{,}6; \quad \frac{10 \cdot 5 \cdot 3{,}6}{1{,}8} = 100 \] Ответ: -100.
      
      
   2. \[ \left( -0{,}25 \cdot 0{,}9 \cdot (-4) \right) : (-1{,}45) + \left( 7{,}31 \cdot (-3{,}5) \right) : (-7{,}31) - \left( 0{,}37 : (-0{,}1) \right) \] Решение: \[ (-0{,}25) \cdot (-4) = 1; \quad 1 \cdot 0{,}9 = 0{,}9; \quad 0{,}9 : (-1{,}45) = -0{,}62 \] \[ \frac{7{,}31 \cdot (-3{,}5)}{-7{,}31} = 3{,}5 \] \[ 0{,}37 : (-0{,}1) = -3{,}7; \quad -0{,}62 + 3{,}5 - (-3{,}7) = 6{,}58 \] Ответ: $6{,}58.$
   
   
   
3. Упрости выражение: \[ -(-3x + 2) - (-5x + 4) + 2(-x - 5) = 3x - 2 + 5x - 4 - 2x - 10 = 6x - 16 \] При \(x = -3\): \[ 6 \cdot (-3) - 16 = -18 - 16 = -34 \] Ответ: -34.
   
   
4. Реши уравнения:
   1. \( 0{,}56 : |x| = 0{,}7 \Rightarrow |x| = 0{,}8 \Rightarrow x = \pm 0{,}8 \) Ответ: \(\pm 0{,}8\).
      
      
   2. Умножаем на 6: \[ 14x - 21 = 9x - 11 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2 \] Ответ: 2.
      
      
   3. Раскрываем скобки: \[ 1{,}5 - 0{,}9y = -4{,}8 - 0{,}9y + 6{,}3 \Rightarrow 1{,}5 = 1{,}5 \quad \text{(тождество, все y)} \] Ответ: \(y \in \mathbb{R}\).
      
      
   4. Корни: \(a = 0; -2; 3{,}\overline{3}\) Ответ: 0; -2; \(\frac{10}{3}\).
      
      
   5. Перекрёстное умножение: \[ -1{,}2(x + 3) = 0{,}9(7 - 3x) \Rightarrow -12x -36 = 63 - 27x \Rightarrow 15x = 99 \Rightarrow x = 6{,}6 \] Ответ: 6,6.
   
   
   
5. Пусть в первом мешке \(x\) кг, во втором \(2x\). Уравнение: \[ x + 5 - 2 = 2x - 5 \Rightarrow x = 8; \quad 2x = 16 \] Ответ: 8 кг и 16 кг.
   
   
6. Скорость течения \(y\) км/ч: \[ 1{,}6(25 + y) - 1{,}2(25 - y) = 15{,}6 \Rightarrow 0{,}4y = 15{,}6 - 10 \Rightarrow y = 14 \] Ответ: 14 км/ч.
   
   
7. Пусть всего книг \(N\). Русских \(0{,}4N\). Отношение французских к немецким: \[ \frac{1}{3} : 0{,}6 = 5 : 9 \Rightarrow \text{Немецких на 4 части больше} \] \(4x = 480 \Rightarrow x = 120 \Rightarrow\) Всего иностранных: \(14x = 1680\) \[ 0{,}6N = 1680 \Rightarrow N = 2800 \] Ответ: 2800 книг.
   
   
8. Пусть второй угол \(x\). Первый \(1{,}4x\), третий \(\frac{1{,}4x + x}{4} = 0{,}6x\) \[ 1{,}4x + x + 0{,}6x = 90 \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30^{\circ} \] Ответ: \(42^{\circ}; 30^{\circ}; 18^{\circ}\).
   
   
9. Площадь комнаты: \(6 \cdot 8 = 48\) м². Общая площадь ковров: \[ 4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 41 \text{ м²} \] Перекрытие: прямоугольник \(3 \times 2\) м = 6 м². Незанятая площадь: \[ 48 - (41 - 6) = 13 \text{ м²} \] Ответ: 13 м².