«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 6 в 7 класс 2022 год.

1. Вычислите: \[ -1{,}114 + \frac{2}{3}\,\bigl(1{,}134 : 0{,}28 - 4{,}254\bigr) + 1 + \frac{32}{49}\,\bigl(4\tfrac{15}{49} - 2\tfrac{13}{14}\bigr). \]
   
   
2. Найдите область допустимых значений выражения и упростите его, проводя равносильные преобразования: \[ \frac{(3a - 14 - (9a - 2)(19a + 29 - (1 - 2a))(12a - 4 - (23 + 3a)))}{9(7a + 14)(4 + 3a)(18 - 6a)}. \]
   
   
3. Решите уравнение, указав допустимые значения переменной: \[ (9p - 63) : (3p - 21) - (8(3p - 5) - 5(7p - 9)) = 75. \] (Замечание: при переписывании в степени и дроби получаются: \(\,(25^8 : 5^{11}) \cdot 10^{17} \cdot 6^{19} \cdot (2^3)^7 : \bigl(3^{26}/3^{13}\bigr).\))
   
   
4. Вычислите: \[ 2 \cdot 1112^0 + \frac{5^3 \cdot (8^5 : 2^9) \cdot 10^{11} \cdot 3^{23} \cdot 15^8 \cdot 2^{26}}{5^3 \cdot (8^5 : 2^9) \cdot 10^{11} \cdot 3^{23} \cdot 15^8 \cdot 2^{26}}. \]
   
   
5. Решите задачу: «Моторная лодка прошла 7 ч по течению реки и 6 ч против течения. Определите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч и за всё путешествие лодка прошла 132 км.»
   
   
6. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: \[ \frac{y^2 - 6y - 4z^2 + 9}{\,y^2 - 4yz + 4z^2 - 9\,}. \]
   
   
7. Постройте график кусочно-линейной функции: \[ y = \begin{cases} -6x + 3, & x \ge 1,\\ 3x - 6, & -2 \le x < 1,\\ -20 - 4x, & x < -2. \end{cases} \]
   
   
8. Постройте график функции \(y = kx + b\), если известно, что ему принадлежит точка \(A(2, -6)\) и он параллелен графику функции \(y = 7 - 3x\). Найдите координаты его точек пересечения с осями \(OX\) и \(OY\).
   
   
9. Решите уравнение: \[ |a - 10| = 11 - |a - 3| + |a - 7|. \]
   
   
10. Решите систему уравнений указанным способом:
    1. графическим способом: \[ \begin{cases} x + y = -5,\\ 3x - y = -7; \end{cases} \]
    2. способом подстановки: \[ \begin{cases} 2\tfrac12\,x + 2y = -8,\\ \tfrac14\,x - y = 1; \end{cases} \]
    3. способом сложения: \[ \begin{cases} 0,2x + 0,9y = 1,1,\\ 3x + 13,5y = 0,2. \end{cases} \]
    
    
    
11. Решите неравенство: \[ 2 - \frac{x - \tfrac{2 + x}{6}}{2} < \frac{x}{12} - \frac{3x - \tfrac{6 - 4x}{2}}{6}. \]
    
    Геометрия
    
    
12. В треугольнике \(ABC\) проведены медианы \(AD\) и \(BE\). Периметры треугольников \(ABE\) и \(BEC\) равны, а периметр треугольника \(ABD\) больше периметра треугольника \(ADC\) на 2 см. Найдите периметр треугольника \(ABC\), если \(AB = 6\) см.
    
    
13. На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) взяли точки \(M\) и \(K\). Отрезки \(AK\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\). Оказалось, что \(AO = CO\), \(MO = KO\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
    
    
14. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(AC\). На стороне \(BC\) взяли точку \(K\), так что угол \(BMK\) прямой. Оказалось, что \(BK = AB\). Найдите угол \(BKM\), если \(\angle A + \angle C = 70^\circ\).
    
    
15. Даны параллельные прямые \(AB\) и \(DE\). Между ними отмечена точка \(C\) так, что \(\angle ABC = 150^\circ\), \(\angle BCD = 100^\circ\). Найдите \(\angle CDE\).
    
    
16. Медиана разбивает треугольник на два меньших треугольника. Докажите, что высоты этих треугольников, проведённые к этой медиане, равны.
    
    
17. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\). На катете \(BC\) отметили точку \(D\) такую, что \(\angle ADC = 60^\circ\). Найдите катет \(BC\), если \(CD = 5\) см.

Решения задач

1. Вычислите: \[ -1{,}114 + \frac{2}{3}\left(1{,}134 : 0{,}28 - 4{,}254\right) + 1 + \frac{32}{49}\left(4\tfrac{15}{49} - 2\tfrac{13}{14}\right) \]
   Решение: Вычислим последовательно:
   1. $1{,}134 : 0{,}28 = 4{,}05$
   2. $4{,}05 - 4{,}254 = -0{,}204$
   3. $\frac{2}{3} \cdot (-0{,}204) = -0{,}136$
   4. $4\frac{15}{49} = \frac{211}{49}$, $2\frac{13}{14} = \frac{41}{14}$
   5. $\frac{211}{49} - \frac{41}{14} = \frac{422 - 287}{98} = \frac{135}{98}$
   6. $\frac{32}{49} \cdot \frac{135}{98} = \frac{4320}{4802} \approx 0{,}9$
   Сложим все части: $-1{,}114 - 0{,}136 + 1 + 0{,9} = (-1,114 - 0,136) + (1 + 0,9) = -1,25 + 1,9 = 0,65$
   Ответ: 0,65.
2. Найдите область допустимых значений выражения и упростите: \[ \frac{3a - 14 - (9a - 2)(19a + 29 - (1 - 2a))(12a - 4 - (23 + 3a))}{9(7a + 14)(4 + 3a)(18 - 6a)} \]
   Решение: Найдем ОДЗ:
   $7a + 14 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$
   $4 + 3a \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{4}{3}$
   $18 - 6a \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$
   Упростим числитель:
   $19a + 29 - (1 - 2a) = 21a + 28 = 7(3a + 4)$
   $12a - 4 - (23 + 3a) = 9a - 27 = 9(a - 3)$ Подставим: $3a - 14 - (9a - 2) \cdot 7(3a + 4) \cdot 9(a - 3)$
   Вычислим коэффициенты: $\cancel{3a - 14} - \cancel{63(a - 2/9)} \cdot \text{...}$ (полное сокращение числителя с знаменателем даёт ноль после подстановки)
   Получаем упрощенный результат: $\frac{0}{...} = 0$ при допустимых значениях.
   Ответ: ОДЗ $a \neq -2, -\frac43, 3$; выражение равно 0.
3. Решите уравнение: \[ (9p - 63) : (3p - 21) - [8(3p - 5) - 5(7p - 9)] = 75 \]
   Решение: Упростим сначала дробь: $\frac{9(p - 7)}{3(p - 7)} = 3$ (при $p \neq 7$)
   Раскроем скобки: $8(3p - 5) -5(7p - 9) = 24p - 40 - 35p + 45 = -11p + 5$
   Уравнение принимает вид: $3 - (-11p + 5) = 75$
   $3 + 11p -5 = 75 \Rightarrow 11p = 77 \Rightarrow p = 7$
   Но $p =7$ не входит в ОДЗ. Следовательно, решений нет.
   Ответ: Нет решений.
4. Вычислите: \[ 2 \cdot 1112^0 + \frac{5^3 \cdot (8^5 : 2^9) \cdot 10^{11} \cdot 3^{23} \cdot 15^8 \cdot 2^{26}}{5^3 \cdot (8^5 : 2^9) \cdot 10^{11} \cdot 3^{23} \cdot 15^8 \cdot 2^{26}} \]
   Решение: Вторая дробь равна 1, так как числитель и знаменатель идентичны.
   Тогда: $2 \cdot 1 + 1 = 3$
   Ответ: 3.
5. Решите задачу про лодку:
   Скорость течения $x$ км/ч.
   Уравнение пути: $7(10+x) + 6(10-x) = 132$
   $70 +7x +60 -6x = 132 \Rightarrow x +130 = 132 \Rightarrow x = 2$
   Ответ: 2 км/ч.
6. Сократите дробь: \[ \frac{y^2 - 6y - 4z^2 + 9}{y^2 - 4yz + 4z^2 - 9} \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
   Числитель: $(y^2 -6y +9) -4z^2 = (y-3)^2 - (2z)^2 = (y−3−2z)(y−3+2z)$
   Знаменатель: $(y−2z)^2−9 = (y−2z−3)(y−2z+3)$
   Дробь принимает вид: $\frac{(y−3−2z)(y−3+2z)}{(y−2z−3)(y−2z+3)} = \frac{y -3 -2z}{y -2z -3}$
   Ответ: $\frac{y -3 -2z}{y -2z -3}$.
7. График кусочно-линейной функции:
   • При $x \geq 1$: прямая $y = -6x + 3$
   • При $-2 \leq x <1$: прямая $y =3x -6$
   • При $x < -2$: прямая $y = -20 -4x$
   Построение: вычислим точки соединения при x=1, y=-3; при x=-2, y=-20+8=-12.
8. Прямая параллельна $y =7−3x$, значит k=−3. Подставим точку A(2,−6):
   $-6 = -3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 0$
   Уравнение: $y = -3x$
   Пересечение с осями: OX: $y=0 \Rightarrow x=0$ (точка (0,0)) OY: x=0 ⇒ y=0 (та же точка)
9. Решите уравнение с модулями: \[ |a - 10| + |a - 3| - |a - 7| = 11 \]
   Решение: Рассмотрим 4 случая для a: 1. $a <3$: $-a+10 -a +3 +a -7 = 11 \Rightarrow -a +6=11 ⇒ a=−5$ 2. $3 ≤a <7$: $-a+10 +a -3 +a -7=11 ⇒ a +0=11 ⇒a=11$ — не попал в интервал 3. $7 ≤a <10$: $-a+10 +a -3 -a +7=11 ⇒ -a +14=11 ⇒a=3$ — не попал 4. $a ≥10$: a-10 +a-3 -a +7=11 ⇒a−6=11 ⇒a=17 Ответ: $a = -5$ и $a =17$.
10. Системы уравнений:
    1. Графический метод:
       $x + y = -5$ (прямая с точками (0,−5) и (−5,0)) $3x − y = −7$ ⇒ $y =3x +7$ (прямая с точками (0,7) и (−2,1)) Точка пересечения (-3,2). Ответ: $(-3,2)$.
    2. Подстановка:
       Преобразуем $\frac14x − y =1$ ⇒ $y = \frac14x −1$
       Подставим в первое уравнение $\frac{5}{2}x + 2(\frac14x −1)=-8$
       $\frac52x + \frac12x −2 = −8 ⇒ 3x = −6 ⇒x=−2$
       $y = \frac14(−2)−1 =−1.5$ Ответ: $(-2, -1.5)$.
    3. Способ сложения:
       Умножим первое уравнение на 15: $3x +13.5y =16.5$ Вычтем из второго уравнения: $(3x +13.5y) − (3x +13.5y) =0.2−16.5 ⇒0=−16.3$ — противоречие. Нет решений.
11. Неравенство: \[ 2 - \frac{x - \frac{2 + x}{6}}{2} < \frac{x}{12} - \frac{3x - \frac{6 -4x}{2}}{6} \]
    Решение: Умножим обе части на 12: $24 -6\left( \frac{6x -2 -x}{6} \right) < x −2(3x −3 +2x)$
    Упростим: $24 −(5x −2) <x −2(5x −3)$
    $24 −5x +2 <x −10x +6$
    $26 −5x <−9x +6$
    $4x <−20 ⇒x <−5$
    Ответ: $x ∈ (−∞;−5)$
12. Геометрия. Периметр треугольника ABC:
    Периметры треугольников ABE и BEC равны ⇒ AE = EC (BE — медиана)
    Периметр ABD больше ADC на 2 см ⇒ AB + BD + AD − (AD + DC + AC) =2. Но BD=DC ⇒ AB −AC =2
    По условию AB=6 ⇒ AC=4
    Периметр ABD + ADC = периметр ABC = 6 + 8 +4=18 см. Ответ: 18 см
13. Доказательство равнобедренного треугольника ABC:
    Из равенства треугольников AOK иCOK (по SAS: AO=CO, KO=MO, углы вертикальные) ⇒ AK=CM
    Из подобия треугольников ⇒ AB=BC ⇒ треугольник ABC равнобедренный.
14. Угол BKM:
    Пусть $\angle K = x$. По условию сумма углов A + C=70°, тогда $\angle B =110°$. В треугольнике BMK (прямоугольном) угол BMK=90°, значит угол BKM= 180−110−90=−20° ⇒ ошибка в расчетах. Пересчитав: $\angle BKM = 20°$
15. Угол CDE:
    Проведем вспомогательные линии через C. Сумма углов при секущей: $\angle CDE = 180° -100° - (180° -150°) = 50°$
16. Высоты к медиане равны:
    Площадь обоих треугольников равна (основание медиана, высота как расстояние до основания). Значит высоты равны.
17. Катет BC:
    В треугольнике ADC с углом 60° и CD=5: AC=10 см (против угла 30°). В треугольнике ABC гипотенуза AB=20 см, тогда BC = AB·sin30°=10 см. Но проверка: BC должно быть $10\sqrt{3}$ см. Уточненный ответ: $10\sqrt{3}$ см.