«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 6 в 7 класс 2022 год

Физтех-лицей им. П. Л. Капицы

2022

1. Упрости выражение и найди его значение: \[ 0{,}4(2n - 2{,}5) - 1{,}6(k - 0{,}5) - 0{,}8(n - k), \quad \text{при } n = 9{,}6,\ k = -5{,}25 \]
   
   
2. Реши задачу с помощью уравнения:
   Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода, и они встретились через 5 минут?
   
   
3. Реши задачу с помощью уравнения:
   Спортивная лодка, двигаясь против течения реки, проплыла расстояние от турбазы до города за 2 часа 15 минут, а обратный путь — за 1,5 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Чему равна собственная скорость лодки?
   
   
4. Периметр квадрата равен 6 м, а периметр прямоугольника на 20% больше. Ширина прямоугольника в 5 раз меньше длины. На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата?
   
   
5. Лучи, исходящие из вершины развёрнутого угла, делят его на 4 части. Первый угол относится ко второму как \(2{,}4 : \dfrac{1}{\frac{5}{7}}\), третий — на 15 градусов меньше первого, а четвёртый — в 3 раза больше третьего. Найди величины этих углов и сделай чертёж.

Решения задач

1. Упрости выражение и найди его значение: \[ 0{,}4(2n - 2{,}5) - 1{,}6(k - 0{,}5) - 0{,}8(n - k) \] Решение: \[ = 0{,}8n - 1 - 1{,}6k + 0{,}8 - 0{,}8n + 0{,}8k = -0{,}8k - 0{,}2 \] Подставляя \(n = 9{,}6\), \(k = -5{,}25\): \[ -0{,}8 \cdot (-5{,}25) - 0{,}2 = 4{,}2 - 0{,}2 = 4 \] Ответ: 4.
   
   
2. Реши задачу с помощью уравнения:
   Решение: Пусть скорость пешехода \(x\) км/ч, тогда скорость всадника \(x + 12\) км/ч. Время встречи \(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) часа. Суммарное расстояние: \[ (x + x + 12) \cdot \frac{1}{12} = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x + 12 = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \text{ км/ч} \] Ответ: скорость пешехода 6 км/ч, всадника 18 км/ч.
3. Реши задачу с помощью уравнения:
   Решение: Пусть собственная скорость лодки \(v\) км/ч. Расстояние: \[ 2{,}25(v - 2) = 1{,}5(v + 2) \quad \Rightarrow \quad 2{,}25v - 4{,}5 = 1{,}5v + 3 \quad \Rightarrow \quad 0{,}75v = 7{,}5 \quad \Rightarrow \quad v = 10 \text{ км/ч} \] Ответ: 10 км/ч.
4. Периметр квадрата равен 6 м \(\Rightarrow\) сторона \(1{,}5\) м, площадь \(2{,}25\) м². Периметр прямоугольника \(7{,}2\) м. Пусть ширина \(x\), длина \(5x\): \[ 2(x + 5x) = 7{,}2 \quad \Rightarrow \quad 12x = 7{,}2 \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}6 \text{ м}, \quad 5x = 3\text{ м} \] Площадь прямоугольника \(0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8\) м². Разница: \[ \frac{2{,}25 - 1{,}8}{2{,}25} \cdot 100% = 20\% \] Ответ: на 20%.
5. Пусть величины углов: первый \(12x\), второй \(7x\), третий \(12x - 15^\circ\), четвёртый \(3(12x - 15^\circ)\). Сумма: \[ 12x + 7x + 12x - 15 + 36x - 45 = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad 67x = 240 \quad \Rightarrow \quad x \approx 3{,}5821^\circ \] Углы: \(\approx 43{,}34^\circ\), \(25{,}07^\circ\), \(28{,}34^\circ\), \(85{,}03^\circ\). Ответ: \(\approx 43{,}3^\circ\), \(25{,}1^\circ\), \(28{,}3^\circ\), \(85{,}0^\circ\).