«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 5 в 6 класс 2023 год

Физтех-лицей им. П. Л. Капицы

2023

1. Вычислите: \[ \left(1\dfrac{2}{3} + 2{,}75\right) : 8\dfrac{5}{6} \cdot 2{,}4 \cdot \left(\left(1\dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{9} \right) : 2\dfrac{1}{3} \right)^2 \] \[ 2\dfrac{1}{6} + \left(3\dfrac{2}{5} - 1\dfrac{3}{4} \right) \cdot 1\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{14} : 2\dfrac{4}{7} \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ \dfrac{53{,}76}{4{,}248 - 1{,}56x} + 3{,}8 = 55 \]
   
   
3. Высота аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 5,6 дм, что составляет 80% его длины.
   1. [а)] Найдите ширину аквариума, если его объем 176{,}4 дм\(^3\).
   2. [б)] Определите, сколько воды в аквариуме, если уровень воды составляет \(\dfrac{3}{5}\) высоты аквариума.
   3. [в)] Округлите результат до десятых.
   
   
   
4. В вазе лежали сливы. Сначала из неё взяли половину всех слив без пяти, а затем \(\dfrac{2}{3}\) оставшихся. После этого в вазе осталось 10 слив. Сколько слив было в вазе?
   
   
5. Миша проезжает путь от дома до дачи за 30 минут, а его сестра — за 45 минут. Однажды по дороге на дачу Миша встретил сестру, выехавшую с дачи домой на 10 минут позже него. Через сколько времени после выезда сестры они встретились? Сколько времени после встречи с сестрой пришлось Мише ещё ехать до дачи?
   
   
6. Из горячего крана ванна наполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Саша открыл сначала горячий кран. Через сколько минут он должен открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1{,}5 раза больше, чем холодной?
   
   
7. У одного араба был кувшин молока, у другого — хлеб, а у третьего — 6 фиников. За обед третий араб заплатил остальным 20 монет. Как следует разделить эти деньги, если ели поровну, 4 кувшина молока стоят столько же, сколько 3 хлеба, а один кувшин молока равноценен 36 финикам?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \left(1\dfrac{2}{3} + 2{,}75\right) : 8\dfrac{5}{6} \cdot 2{,}4 \cdot \left(\left(1\dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{9} \right) : 2\dfrac{1}{3} \right)^2 \] Решение: \[ \left(1\dfrac{2}{3} + 2{,}75\right) = \dfrac{5}{3} + \dfrac{11}{4} = \dfrac{53}{12} \] \[ 8\dfrac{5}{6} = \dfrac{53}{6}, \quad \dfrac{53}{12} : \dfrac{53}{6} = \dfrac{1}{2} \] \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2{,}4 = 1{,}2 \] \[ \left(1\dfrac{5}{12} - \dfrac{4}{9}\right) = \dfrac{17}{12} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{35}{36} \] \[ \dfrac{35}{36} : 2\dfrac{1}{3} = \dfrac{35}{36} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{12} \] \[ \left(\dfrac{5}{12}\right)^2 = \dfrac{25}{144}, \quad 1{,}2 \cdot \dfrac{25}{144} = \dfrac{5}{24} \] Ответ: \(\dfrac{5}{24}\).
   
   \[ 2\dfrac{1}{6} + \left(3\dfrac{2}{5} - 1\dfrac{3}{4} \right) \cdot 1\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{14} : 2\dfrac{4}{7} \] Решение: \[ 3\dfrac{2}{5} - 1\dfrac{3}{4} = \dfrac{17}{5} - \dfrac{7}{4} = \dfrac{33}{20} \] \[ \dfrac{33}{20} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{11}{4} \] \[ 2\dfrac{1}{6} = \dfrac{13}{6}, \quad \dfrac{13}{6} + \dfrac{11}{4} = \dfrac{59}{12} \] \[ \dfrac{3}{14} : 2\dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{14} \cdot \dfrac{7}{18} = \dfrac{1}{12} \] \[ \dfrac{59}{12} + \dfrac{1}{12} = 5 \] Ответ: 5.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \dfrac{53{,}76}{4{,}248 - 1{,}56x} + 3{,}8 = 55 \] Решение: \[ \dfrac{53{,}76}{4{,}248 - 1{,}56x} = 51{,}2 \quad \Rightarrow \quad 4{,}248 - 1{,}56x = \dfrac{53{,}76}{51{,}2} = 1{,}05 \] \[ 1{,}56x = 4{,}248 - 1{,}05 = 3{,}198 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{3{,}198}{1{,}56} \approx 2{,}05 \] Ответ: 2,05.
3. 1. [а)] Длина аквариума: \(5{,}6 : 0{,}8 = 7\) дм. Ширина: \[ 176{,}4 : (7 \cdot 5{,}6) = 176{,}4 : 39{,}2 = 4{,}5 \text{ дм.} \] Ответ: 4,5 дм.
   2. [б)] Уровень воды: \(5{,}6 \cdot \dfrac{3}{5} = 3{,}36\) дм. Объем воды: \[ 7 \cdot 4{,}5 \cdot 3{,}36 = 105{,}84 \text{ дм}^3 \] Ответ: 105,84 дм\(^3\).
   3. [в)] Ответ округляем до десятых: 105,8 дм\(^3\).
   
   
   
4. Пусть \(x\) — исходное количество слив. После первого взятия осталось: \[ x - \left(\dfrac{x}{2} - 5\right) = \dfrac{x}{2} + 5 \] После второго взятия осталось: \[ \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{x}{2} + 5\right) = 10 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x}{2} + 5 = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 50 \] Ответ: 50.
   
   
5. Пусть \(t\) — время после выезда сестры до встречи. Путь Миши: \[ \dfrac{t + 10}{30}, \quad \text{путь сестры: } \dfrac{t}{45} \] \[ \dfrac{t + 10}{30} + \dfrac{t}{45} = 1 \quad \Rightarrow \quad 3(t + 10) + 2t = 90 \quad \Rightarrow \quad t = 12 \text{ мин.} \] Оставшееся время Миши: \(30 - (12 + 10) = 8\) мин. Ответ: встретились через 12 мин, осталось ехать 8 мин.
   
   
6. Пусть холодный кран открыли через \(t\) минут после горячего. Объемы: \[ \dfrac{23}{23} = 1{,}5 \cdot \dfrac{23 - t}{17} \quad \Rightarrow \quad 17 = 1{,}5(23 - t) \quad \Rightarrow \quad t \approx 11{,}7 \text{ мин.} \] Ответ: через 11,7 мин.
   
   
7. Стоимость молока: 36 фиников/кувшин, хлеба: \( \dfrac{4}{3} \cdot 36 = 48\) фиников. Вклад третьего: 6 фиников. Общий эквивалент: \(36 + 48 + 6 = 90\) фиников. Каждому полагается 30 фиников. Первый араб получает \(36 - 30 = 6\) фиников, второй \(48 - 30 = 18\) фиников. Перевод в монеты: \[ 6 : 36 \cdot 20 = 5 \text{ монет}, \quad 18 : 36 \cdot 20 = 15 \text{ монет.} \] Ответ: 5 и 15 монет.