«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 5 в 6 класс 2022 год. Пример

1. Реши задачу методом пропорции:
   «Ученик сделал 42 детали. Сколько деталей сделает мастер за это же время, если его производительность в три раза больше производительности ученика?»
   
   
2. Найди длины сторон треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB\) так относится к \(BC\), как \(3\) к \(2\), \(BC\) так относится к \(AC\), как \(5\) к \(4\), а его периметр равен \(49{,}5\) м.
   
   
3. Найди процентное отношение чисел \(A\) и \(B\), вычислив наиболее удобным способом: \[ A = \bigl|(-7{,}75)\,-\,5\tfrac{2}{3}+3{,}21\bigr| \;+\;\bigl(-8\tfrac{3}{4}-2\tfrac{4}{9}\,-\,|{-}3{,}21|\bigr)\;+\;|{+}17|; \] \[ B = \frac{0{,}75\cdot5{,}4\cdot4\tfrac{1}{6}-1{,}6}{5\cdot0{,}63\cdot3\tfrac{3}{7}\cdot1\tfrac{5}{3}\div\tfrac{3}{8}}. \]
   
   
4. Найди значения выражений:
   1. \((-4{,}8 - (-1{,}2)) : 0{,}6 + 2\tfrac{4}{9} : (-3\tfrac{2}{3}) - (-3\tfrac{3}{4})\cdot0{,}4;\)
   2. \(\displaystyle \frac{-3{,}2\cdot1\tfrac{2}{5} -(-0{,}15)}{-0{,}3\cdot(-2{,}8)\,5\tfrac{1}{3}}\).
   
   
   
5. Реши уравнения:
   1. \(6 - 10c = -7c - 21;\)
   2. \(0{,}4x + (-x - 1{,}8) = -2(0{,}5x - 0{,}3);\)
   3. \(x(x - 5)(x + 2{,}5) = 0;\)
   4. \(\tfrac{2}{5}a - 1{,}4 = -\tfrac{1}{2}a - 3{,}2;\)
   5. \(\displaystyle \frac{y - 3}{4} = \frac{5 - 2y}{-9};\)
   6. \(|x| + 3 = 2.\)
   
   
   
6. Упрости выражение и найди его значение:
   1. \(-3(2x - 1) - (-7x + 4) + 5(-x - 3)\), при \(x = -2\);
   2. \(-4(-0{,}8x + 2y) - (4,2x - y)\), при \(x = 2\), \(y = -1\).
   
   
   
7. Реши задачу с помощью уравнения:
   «За три дня турист прошёл 54 км. В первый день он прошёл на 20% больше, чем во второй, а в третий — половину пути, пройденного во второй день. Сколько километров прошёл турист в первый день?»
   
   
8. Реши задачу с помощью уравнения:
   «Моторная лодка за 0,4 часа по течению реки прошла на 2,5 км больше, чем за 0,25 часа против течения реки. Найди собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.»
   
   
9. Выполни действия:
   1. \(0{,}4\text{ м} + 31{,}6\text{ см} - 150{,}4\text{ мм};\)
   2. \((238\text{ га} 50\text{ а} : 1{,}5 + 4\text{ км}^2 2\text{ га}) : 1{,}87 - 2\,500\,000\text{ м}^2.\)
   
   
   
10. Ширина прямоугольника на 30% меньше длины, а его периметр равен \(40{,}8\) см. Найди площадь прямоугольника. Вырази эту площадь в квадратных дециметрах.
    
    
11. Лучи, исходящие из вершины развёрнутого угла, делят его на три части. Первые два угла относятся как \(4 : 3\), а третий на 25% больше первого. Найди величины этих углов и сделай чертёж.

Решения задач

1. Реши задачу методом пропорции:
   «Ученик сделал 42 детали. Сколько деталей сделает мастер за это же время, если его производительность в три раза больше производительности ученика?»
   
   Решение: Производительность мастера в 3 раза выше, значит за то же время он сделает $42 \cdot 3 = 126$ деталей.
   Ответ: 126.
2. Найди длины сторон треугольника \(ABC\), если \(AB:BC = 3:2\), \(BC:AC = 5:4\), а периметр равен 49,5 м.
   
   Решение: Приведем отношения к общему виду:
   \(AB:BC:AC = 15:10:8\). Сумма частей \(15 + 10 + 8 = 33\).
   Коэффициент пропорции: \(49,5 : 33 = 1,5\).
   Стороны: \(AB = 15 \cdot 1,5 = 22,5\) м, \(BC = 10 \cdot 1,5 = 15\) м, \(AC = 8 \cdot 1,5 = 12\) м.
   Ответ: 22,5 м, 15 м, 12 м.
3. Найди процентное отношение чисел \(A\) и \(B\):
   \[ A = \bigl|(-7{,}75) - 5\tfrac{2}{3} + 3{,}21\bigr| + \bigl(-8\tfrac{3}{4} - 2\tfrac{4}{9} - |{-}3{,}21|\bigr) + |{+}17| \approx 12{,}80; \] \[ B = \frac{0{,}75\cdot5{,}4\cdot4\tfrac{1}{6} - 1{,}6}{5\cdot0{,}63\cdot3\tfrac{3}{7}\cdot1\tfrac{5}{3} \div \tfrac{3}{8}} \approx 1{,}193. \] Процентное отношение: \(\frac{12{,}80}{1{,}193} \approx 1073\%\).
   Ответ: ≈1073\%.
4. Найди значения выражений:
   1. \((-4{,}8 - (-1{,}2)) : 0{,}6 + 2\tfrac{4}{9} : (-3\tfrac{2}{3}) - (-3\tfrac{3}{4}) \cdot 0{,}4 = -5\frac{1}{6}\).
      Ответ: \(-5\frac{1}{6}\).
   2. \(\frac{-3{,}2 \cdot 1\tfrac{2}{5} - (-0{,}15)}{-0{,}3 \cdot (-2{,}8) \cdot 5\tfrac{1}{3}} \approx -0{,}97\).
      Ответ: \(-0{,}97\).
5. Реши уравнения:
   1. \(6 - 10c = -7c - 21\): \(c = 9\).
      Ответ: 9.
   2. \(0{,}4x + (-x - 1{,}8) = -2(0{,}5x - 0{,}3)\): \(x = 6\).
      Ответ: 6.
   3. \(x(x - 5)(x + 2{,}5) = 0\): \(x = 0; 5; -2{,}5\).
      Ответ: 0; 5; -2{,}5.
   4. \(\tfrac{2}{5}a - 1{,}4 = -\tfrac{1}{2}a - 3{,}2\): \(a = -2\).
      Ответ: \(-2\).
   5. \(\frac{y - 3}{4} = \frac{5 - 2y}{-9}\): \(y = 7\).
      Ответ: 7.
   6. \(|x| + 3 = 2\): корней нет.
      Ответ: Нет решения.
6. Упрости выражение и найди его значение:
   1. \(-3(2x - 1) - (-7x + 4) + 5(-x - 3)\) при \(x = -2\): результат 20.
      Ответ: 20.
   2. \(-4(-0{,}8x + 2y) - (4{,}2x - y)\) при \(x = 2\), \(y = -1\): результат \(-2{,}4\).
      Ответ: \(-2{,}4\).
7. За три дня турист прошёл 54 км. Пусть во второй день \(x\) км, тогда первый день \(1{,}2x\), третий день \(0{,}5x\). Уравнение:
   \(1{,}2x + x + 0{,}5x = 54\). Решение: \(x = 20\). Первый день: \(24\) км.
   Ответ: 24 км.
8. Моторная лодка: собственная скорость \(v\) км/ч, течение 2 км/ч. Уравнение:
   \(0{,}4(v + 2) - 0{,}25(v - 2) = 2{,}5\). Решение: \(v = 8\).
   Ответ: 8 км/ч.
9. Выполни действия:
   1. \(0{,}4\text{м} + 31{,}6\text{см} - 150{,}4\text{мм} = 56{,}56\) см.
      Ответ: 56,56 см.
   2. \((238\text{га} \, 50\text{а} : 1{,}5 + 4\text{км}^2 \, 2\text{га}) : 1{,}87 - 2\,500\,000\text{м}^2 = 467\) га.
      Ответ: 467 га.
10. Площадь прямоугольника: длина \(x\), ширина \(0{,}7x\). Периметр \(40{,}8\) см:
    \(2(x + 0{,}7x) = 40{,}8\). Решение: \(x = 12\) см, площадь \(100{,}8 \text{см}^2 = 1{,}008 \text{дм}^2\).
    Ответ: 1,008 дм².
11. Углы развёрнутого угла: \(60^\circ\), \(45^\circ\), \(75^\circ\).
    Ответ: \(60^\circ\); \(45^\circ\); \(75^\circ\).