«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 5 в 6 класс 2020 год

1. Найдите значения выражений:
   1. $2{,}4\;\cdot\;\bigl(-1\tfrac{1}{3}\bigr)$;
   2. $(4{,}75 - 8{,}2)\;:\;\bigl(-0{,}01\bigr)$;
   3. $2{,}56\;\cdot\;\bigl(-40{,}5\bigr)\;-\;6{,}38$;
   4. $14{,}07:3{,}5 \;+\;\Bigl(\bigl(3{,}36 + \tfrac{3}{8} - 3{,}36 - 0{,}125\bigr)\;:\;\tfrac{1}{4}\;-\;0{,}8 - 0{,}072\Bigr)\;\cdot\;\bigl(5{,}8 + 4\tfrac{1}{5}\bigr)$.
   
   
   
2. Решите уравнения:
   1. $2{,}4 + \tfrac{3}{5}\,x = 1\;\tfrac{1}{5}\,x + 1{,}56$;
   2. $0{,}4\,x + \bigl(-x - 1{,}8\bigr) = -2\,(0{,}5x - 0{,}3)$.
   
   
   
3. Сумма трёх чисел равна 80. Первое число составляет 15% всей суммы, но 40% второго числа. Найдите среднее арифметическое первого и третьего числа.
   
   
4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии 2 км 400 м от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 мин после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была 6 км/ч?
   
   
5. Одна сторона прямоугольника равна $a$ м, а другая в 9 раз больше. Меньшую сторону увеличили в 2 раза, а большую уменьшили в 3 раза. Как изменились периметр и площадь и во сколько раз?
   
   
6. Определите, истинны и ложны данные высказывания. Постройте отрицания ложных высказываний:
   1. $\exists\,n\in\mathbb{N}:\;3n - 7 = 19$;
   2. $\forall\,a,b\in\mathbb{R}:\;a + b = b + a\quad(\mathbb{R}\text{ – множество всех чисел})$;
   3. $\exists\,c,d\in\mathbb{N}:\;c^2 + d^2 = 5$;
   4. $\forall\,x,y\in\mathbb{N}:\;x + 1 > y - 1$.
   
   
   
7. Постройте диаграмму Венна множеств $\mathbb{N},\;\mathbb{Z},\;\mathbb{Q}$. Отметьте на этой диаграмме числа: \[ 1,\quad 17\tfrac{1}{9},\quad -300,\quad 0{,}15,\quad -6{,}2,\quad 25,\quad 0,\quad -1056. \]
   
   
8. Три маляра за 5 дней окрашивают 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?
   
   
9. 1. Через железнодорожную станцию прошло три военных состава. В первом находилось 462 солдата, во втором – 546 и в третьем – 630. Сколько вагонов было в каждом составе, если известно, что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это число солдат было максимальным из всех возможных?
   2. Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

Решения задач

1. 1. Вычислить: $2{,}4 \cdot \left(-1\tfrac{1}{3}\right)$
      Решение: \[ 2{,}4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{24}{10} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{96}{30} = -3,2 \] Ответ: $-3{,}2$.
   2. Вычислить: $(4{,}75 - 8{,}2) : (-0{,}01)$
      Решение: \[ (-3{,}45) : (-0{,}01) = 345 \] Ответ: $345$.
   3. Вычислить: $2{,}56 \cdot (-40{,}5) - 6{,}38$
      Решение: \[ 2{,}56 \cdot (-40,5) = -103,68 \quad \Rightarrow \quad -103,68 - 6,38 = -110,06 \] Ответ: $-110,06$.
   4. Вычислить: $14{,}07:3{,}5 + \left(\frac{3{,}36 + \tfrac{3}{8} - 3{,}36 - 0{,}125}{0{,}25} - 0{,}8 - 0{,}072\right) \cdot (5{,}8 + 4\tfrac{1}{5})$
      Решение: \[ \frac{3}{8} = 0{,}375 \quad \Rightarrow \quad 0{,}375 - 0{,}125 = 0{,}25 \quad \Rightarrow \quad \frac{0{,}25}{0{,}25} = 1 \] \[ 1 - 0{,}8 - 0{,}072 = 0{,}128 \quad \Rightarrow \quad 5{,}8 + 4{,}2 = 10 \] \[ \frac{14{,}07}{3{,}5} = 4{,}02 \quad \Rightarrow \quad 4{,}02 + (0{,}128 \cdot 10) = 5{,}3 \] Ответ: $5{,}3$.
2. 1. Решить уравнение: $2{,}4 + \tfrac{3}{5}x = 1\tfrac{1}{5}x + 1{,}56$
      Решение: \[ 0{,}6x + 2{,}4 = 1{,}2x + 1{,}56 \quad \Rightarrow \quad -0{,}6x = -0{,}84 \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}4 \] Ответ: $1{,}4$.
   2. Решить уравнение: $0{,}4x + (-x - 1{,}8) = -2(0{,}5x - 0{,}3)$
      Решение: \[ -0{,}6x - 1{,}8 = -x + 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad 0{,}4x = 2{,}4 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Ответ: $6$.
3. Сумма трёх чисел равна 80. Первое число составляет 15% суммы: \[ 80 \cdot 0,15 = 12 \quad \text{(первое)} \] Второе число: \[ 12 : 0,4 = 30 \quad \Rightarrow \quad 80 - 12 - 30 = 38 \quad \text{(третье)} \] Среднее арифметическое: \[ \frac{12 + 38}{2} = 25 \] Ответ: $25$.
4. Расстояние пешехода до станции: \[ 6 \cdot \left(\frac{15}{60} + \frac{2{,}4}{6}\right) = 6 \cdot 0{,}65 = 3{,}9 \quad \text{км} \] Скорость велосипедиста: \[ \frac{3{,}9}{0{,}25} = 15{,}6 \quad \text{км/ч} \] Ответ: $15{,}6$ км/ч.
5. Первоначальные размеры: $a$ и $9a$. \[ P_{\text{нов}} = 2(2a + 3a) = 10a \quad (\text{было } 20a) \Rightarrow \times2 \] \[ S_{\text{нов}} = 2a \cdot 3a = 6a^2 \quad (\text{было } 9a^2) \Rightarrow \times1{,}5 \] Ответ: периметр уменьшился в 2 раза, площадь уменьшилась в 1,5 раза.
6. 1. Ложь. Отрицание: $\forall n \in \mathbb{N}: 3n \neq 26$.
   2. Истина.
   3. Истина ($c=1,\ d=2$).
   4. Ложь. Отрицание: $\exists x,y \in \mathbb{N}: x+1 \leq y-1$.
7. Диаграмма Венна:
   • $\mathbb{N}$: $1,\ 25$.
   • $\mathbb{Z}$: $-300,\ 0,\ -1056$.
   • $\mathbb{Q}$: $17\tfrac{1}{9},\ 0{,}15,\ -6{,}2$.
8. Производительность: \[ \frac{60}{3 \cdot 5} = 4 \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot 4 \cdot 4 = 80 \] Ответ: $80$ окон.
9. 1. НОД(462, 546, 630) = 42: \[ 462 : 42 = 11,\quad 546 : 42 = 13,\quad 630 : 42 = 15 \] Ответ: $11,\ 13,\ 15$ вагонов.
   2. Пример разреза: квадрат разрезать на треугольник с тупым углом примерно в $120^\circ$ (детали требуют графического пояснения).