«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 4 в 5 класс 2020 год

1. Среди чисел \(3\;\frac{6}{11}\); \(\,17\);\; \(3{,}012\);\; \(\frac{4}{5}\);\; \(0\);\; \(5{,}25\);\; \(\frac{1}{141}\);\; \(1\);\; \(\frac{321}{1000}\) найдите:
   1. натуральные числа;
   2. обыкновенные дроби;
   3. смешанные числа;
   4. десятичные дроби.
   
   
   
2. В записи числа \(41{*}5673{*}\) поставь вместо звездочек цифры так, чтобы получилось число:
   1. кратное 2;
   2. кратное 3;
   3. кратное 5;
   4. кратное 10;
   5. кратное 9;
   6. кратное 2 и 3.
   
   
   
3. Реши уравнение: \[ x\cdot \tfrac{1}{5} \;-\;\tfrac{7}{18} \;=\;\tfrac{5}{6}. \]
   
   
4. Длина прямоугольного параллелепипеда равна \(50\) дм, ширина составляет \(80\%\) длины, а высота составляет \(\tfrac{2}{5}\) длины. Найди объем этого параллелепипеда.
   
   
5. Вычисли: \[ 3\;\tfrac{5}{6} : \bigl(2\;\tfrac{7}{12} + 4\;\tfrac{3}{4} - 3\;\tfrac{1}{2}\bigr) \;:\;\tfrac{5}{19}. \]
   
   
6. Сравни числа:
   1. \(\tfrac{4}{15}\) и \(\tfrac{7}{15}\);
   2. \(5\;\tfrac{2}{23}\) и \(4\;\tfrac{19}{23}\);
   3. \(\tfrac{13}{70}\) и \(\tfrac{45}{89}\);
   4. \(\tfrac{11}{6}\) и \(\tfrac{88}{90}\);
   5. \(1{,}8\) и \(1{,}089\);
   6. \(21{,}56\) и \(2{,}561\);
   7. \(1{,}03\) и \(1{,}0078\);
   8. \(3{,}701\) и \(3{,}0701\).
   
   
   
7. Докажи утверждение: \emph{«Разность нечётного и чётного числа – число нечётное».}
   
   
8. Сократи дроби:
   1. \(\displaystyle \frac{8x^{2}y^{3}z}{5x y^{2}}\);
   2. \(\displaystyle \frac{7 - 21 b d}{7 b d k}\).
   
   
   
9. В классе 35 учеников: 20 из них занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько учеников занимается и математикой, и биологией? (Изобразить распределение в кружках при помощи кругов Эйлера).

Решения задач

1. Найти:
   1. Натуральные числа: \(17;\ 1\)
   2. Обыкновенные дроби: \(\frac{6}{11};\ \frac{4}{5};\ \frac{1}{141};\ \frac{321}{1000}\)
   3. Смешанные числа: \(3\;\frac{6}{11}\)
   4. Десячные дроби: \(3{,}012;\ 5{,}25\)
2. Решения:
   1. Кратное 2: \(41{*}5673{0}\ (*\text{— любая цифра})\)
   2. Кратное 3: \(41{3}5673{2}\ (\text{сумма цифр }4+1+3+5+6+7+3+2 = 30)\)
   3. Кратное 5: \(41{*}5673{5}\)
   4. Кратное 10: \(41{*}5673{0}\)
   5. Кратное 9: \(41{7}5673{8}\ (\text{сумма цифр }4+1+7+5+6+7+3+8 = 41+8 = 49,\ 49+8=57)\)
   6. Кратное 2 и 3: \(41{2}5673{4}\ (\text{сумма цифр }4+1+2+5+6+7+3+4 = 32)\)
3. Решение уравнения: \[ x \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9} \] \[ x = \frac{11}{9} \cdot 5 = \frac{55}{9} = 6\;\frac{1}{9} \] Ответ: \(\frac{55}{9}\) или \(6\;\frac{1}{9}\)
4. Расчет объема: \[ \text{Ширина: }50 \cdot 0{,}8 = 40\ \text{дм},\quad \text{Высота: }50 \cdot \frac{2}{5} = 20\ \text{дм} \] \[ V = 50 \cdot 40 \cdot 20 = 40\,000\ \text{дм}^3 \] Ответ: \(40\,000\ \text{дм}^3\)
5. Вычисление выражения: \[ 2\;\tfrac{7}{12} + 4\;\tfrac{3}{4} = 6 + \tfrac{7+9}{12} = 6\;\tfrac{16}{12} = 7\;\tfrac{1}{3} \] \[ 7\;\tfrac{1}{3} - 3\;\tfrac{1}{2} = 3\;\tfrac{5}{6},\quad 3\;\tfrac{5}{6} : 3\;\tfrac{5}{6} = 1 \] \[ 1 : \frac{5}{19} = \frac{19}{5} = 3\;\frac{4}{5} \] Ответ: \(3\;\frac{4}{5}\)
6. Сравнение чисел:
   1. \(\tfrac{4}{15} < \tfrac{7}{15}\)
   2. \(5\;\tfrac{2}{23} > 4\;\tfrac{19}{23}\)
   3. \(\tfrac{13}{70} ≈ 0{,}1857 < 0{,}5056 = \tfrac{45}{89}\)
   4. \(\tfrac{11}{6} ≈ 1{,}833 > 0{,}977 = \tfrac{88}{90}\)
   5. \(1{,}8 > 1{,}089\)
   6. \(21{,}56 > 2{,}561\)
   7. \(1{,}03 > 1{,}0078\)
   8. \(3{,}701 > 3{,}0701\)
7. Доказательство: Пусть чётное число \(2k\), нечётное \(2m+1\). Их разность: \[ (2m+1) - 2k = 2(m - k) + 1 \implies \text{нечётное} \]
8. Сокращение дробей:
   1. \(\frac{8x^{2}y^{3}z}{5xy^{2}} = \frac{8xy z}{5}\)
   2. \(\frac{7(1 - 3bd)}{7bdk} = \frac{1 - 3bd}{bdk}\)
9. Решение задачи с кругами Эйлера: \[ 35 - 10 = 25\ \text{учеников заняты} \] \[ 20 + 11 - x = 25 \implies x = 6 \] Ответ: 6 учеников