«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 4 в 5 класс 2022 год

Физтех-лицей им. П. Л. Капицы

2022

12.03.2022

1. Четыре утёнка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусёнка весят 4 кг. Сколько весит один утёнок?
   
   
2. В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?
   
   
3. Сколько в зоопарке зверей и сколько птиц, если у них вместе 6000 ног и 2500 голов?
   
   
4. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 рублей. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 рубля. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?
   
   
5. Сыну 7 лет, а отцу 37. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?
   
   
6. Яхта отправилась в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 80 часов. Назовите день недели и час её возвращения в порт.
   
   
7. В классе 32 ученика. Из них 18 занимаются в секции лёгкой атлетики, 10 — в секции плавания и 5 — в обеих секциях. Сколько учащихся не занимаются ни в одной из этих секций?
   
   
8. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько братьев и сколько сестёр в семье?
   
   
9. Сколько треугольников на рисунке?
   
   
   
10. Если Сергей купит 15 тетрадей, то у него останется 7 рублей, а на 20 тетрадей ему не хватит 8 рублей. Сколько денег у Сергея?
    
    
11. Развёрнутый угол разделён на 3 части так, что один из них в два раза меньше второго и в три раза меньше третьего. Найти градусную меру каждого из углов.
    
    
12. На доске написано число 4 839 651 027. Зачеркнуть в нём три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке образовали наименьшее число.
    
    
13. В стране 19 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в стране?
    
    
14. Расставить 14 стульев вдоль стен в актовом зале, имеющем форму квадрата, так, чтобы у каждой стены стульев стало поровну.
    
    
15. Было 10 листов бумаги. Ученик разрезал некоторые из них на 4 части, после чего стало 28 листов. Сколько листов бумаги он разрезал?
    
    
16. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и выложили в один ряд. Найти длину ряда.
    
    
17. Найти трёхзначное число, которое уменьшается в 10 раз, если зачеркнуть его среднюю цифру.
    
    
18. Класс шёл парами. Один ученик глянул вперёд и насчитал 8 пар, затем обернулся назад и насчитал 4 пары. Сколько всего учеников шло в колонне?
    
    
19. Я живу на пятом этаже, а мой брат — на третьем. Возвращаясь с работы домой, мне приходится пройти 60 ступенек. Сколько ступенек проходит мой брат?
    
    
20. В 10 «А» классе 30 учеников. На родительское собрание пришли 26 мам и 20 пап. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и мама, и папа?

Решения задач

1. Четыре утёнка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусёнка весят 4 кг. Сколько весит один утёнок?
   Решение: Обозначим вес утёнка — \( y \), гусёнка — \( g \). Составим систему: \[ \begin{cases} 4y + 5g = 4100 \\ 5y + 4g = 4000 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 5, второе на 4: \[ \begin{cases} 20y + 25g = 20500 \\ 20y + 16g = 16000 \end{cases} \] Вычтем уравнения: \( 9g = 4500 \Rightarrow g = 500 \) г. Подставим в первое уравнение: \( 4y + 2500 = 4100 \Rightarrow y = 400 \) г.
   Ответ: 400 г.
2. В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?
   Решение: Общее количество занятий: \( 17 + 6 + 13 = 36 \). Каждый спортсмен учитывается дважды, поэтому число спортсменов: \( \frac{36}{2} = 18 \).
   Ответ: 18.
3. Сколько в зоопарке зверей и сколько птиц, если у них вместе 6000 ног и 2500 голов?
   Решение: Пусть зверей — \( z \), птиц — \( p \). Составим систему: \[ \begin{cases} z + p = 2500 \\ 4z + 2p = 6000 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2: \( 2z + 2p = 5000 \). Вычтем из второго: \( 2z = 1000 \Rightarrow z = 500 \), тогда \( p = 2000 \).
   Ответ: 500 зверей, 2000 птиц.
4. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 рублей. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 рубля. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?
   Решение: Обозначим яблоко — \( a \), груша — \( b \), персик — \( c \). Условия: \[ \begin{cases} 3a + 4b + c = 40 \\ a + 4b + c = 32 \\ c = 2a \end{cases} \] Вычтем уравнения: \( 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \). Из третьего уравнения \( c = 8 \). Подставим во второе: \( 4 + 4b + 8 = 32 \Rightarrow b = 5 \).
   Ответ: \( 4 + 5 + 8 = 17 \) руб.
5. Сыну 7 лет, а отцу 37. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?
   Решение: Через \( x \) лет: \( 37 + x = 3(7 + x) \Rightarrow x = 8 \).
   Ответ: 8 лет.
6. Яхта отправилась в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 80 часов. Назовите день недели и час её возвращения в порт.
   Решение: 80 часов = 3 суток 8 часов. Полдень понедельника + 3 суток = четверг 12:00 + 8 часов = четверг 20:00.
   Ответ: Четверг, 20:00.
7. В классе 32 ученика. Из них 18 занимаются в секции лёгкой атлетики, 10 — в секции плавания и 5 — в обеих секциях. Сколько учащихся не занимаются ни в одной из этих секций?
   Решение: Число занимающихся: \( 18 + 10 - 5 = 23 \). Не занимаются: \( 32 - 23 = 9 \).
   Ответ: 9 учеников.
8. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько братьев и сколько сестёр в семье?
   Решение: Братьев — \( b \), сестёр — \( s \). Для мальчика: \( b - 1 = s \). Для сестры: \( s - 1 = \frac{b}{2} \). Решив систему, получим \( b = 4 \), \( s = 3 \).
   Ответ: 4 брата, 3 сестры.
9. Сколько треугольников на рисунке?
   Решение: На рисунке 12 треугольников.
   Ответ: 12.
10. Если Сергей купит 15 тетрадей, то у него останется 7 рублей, а на 20 тетрадей ему не хватит 8 рублей. Сколько денег у Сергея?
    Решение: Пусть цена тетради — \( t \), тогда: \[ \begin{cases} X = 15t + 7 \\ 20t = X + 8 \end{cases} \] Решив систему, получим \( t = 3 \), тогда \( X = 15 \cdot 3 + 7 = 52 \).
    Ответ: 52 рубля.
11. Развёрнутый угол разделён на 3 части так, что один из них в два раза меньше второго и в три раза меньше третьего. Найти градусную меру каждого из углов.
    Решение: Обозначим меньший угол \( x \). Тогда углы \( x \), \( 2x \), \( 3x \). Сумма: \( x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \). Углы: \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), \( 90^\circ \).
    Ответ: 30°, 60°, 90°.
12. На доске написано число 4 839 651 027. Зачеркнуть в нём три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке образовали наименьшее число.
    Решение: Наименьшее число — 301027.
    Ответ: 301027.
13. В стране 19 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в стране?
    Решение: Число авиалиний: \( \binom{19}{2} = 171 \).
    Ответ: 171.
14. Расставить 14 стульев вдоль стен в актовом зале, имеющем форму квадрата, так, чтобы у каждой стены стульев стало поровну.
    Решение: Поставить по 3 стула у каждой стены и два стула в углах.
    Ответ: По 3 стула у каждой стены и по одному в двух углах.
15. Было 10 листов бумаги. Ученик разрезал некоторые из них на 4 части, после чего стало 28 листов. Сколько листов бумаги он разрезал?
    Решение: Каждый разрезанный лист добавляет 3 новых. Прирост: \( 28 - 10 = 18 \). Число разрезанных: \( \frac{18}{3} = 6 \).
    Ответ: 6 листов.
16. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и выложили в один ряд. Найти длину ряда.
    Решение: Объем куба — \( 100^3 = 1\,000\,000 \, \text{см}^3 \). Длина ряда: \( 1\,000\,000 \, \text{см} = 10\,000 \, \text{м} \).
    Ответ: 10 км.
17. Найти трёхзначное число, которое уменьшается в 10 раз, если зачеркнуть его среднюю цифру.
    Решение: Число вида \( a0b \), например 500. Проверка: \( 500 : 10 = 50 \).
    Ответ: 500.
18. Класс шёл парами. Один ученик глянул вперёд и насчитал 8 пар, затем обернулся назад и насчитал 4 пары. Сколько всего учеников шло в колонне?
    Решение: Перед ним 8 пар (16 человек), позади 4 пары (8 человек), сам он в паре. Всего: \( (8 + 4 + 1) \cdot 2 = 26 \).
    Ответ: 26 учеников.
19. Я живу на пятом этаже, а мой брат — на третьем. Возвращаясь с работы домой, мне приходится пройти 60 ступенек. Сколько ступенек проходит мой брат?
    Решение: Между первым и пятым этажами 4 пролёта: \( 60 : 4 = 15 \) ступенек на пролёт. Брат проходит 2 пролёта: \( 15 \cdot 2 = 30 \).
    Ответ: 30 ступенек.
20. В 10 «А» классе 30 учеников. На родительское собрание пришли 26 мам и 20 пап. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и мама, и папа?
    Решение: По формуле включений: \( 26 + 20 - 30 = 16 \).
    Ответ: 16 учеников.