«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 3 в 4 класс 2020 год вариант 1

1. Верно ли равенство? \[ \frac{308 \times 712 : 616 - 17\,487 : 87}{500\,000 - 499\,875} = 1 \]
2. Решите задачу (разобрать все случаи).
   Из двух городов, расстояние между которыми равно 204 км, одновременно выехали мотоциклист и автобус. Скорость автобуса – 54 км/ч, а скорость мотоциклиста составляет \(\tfrac{8}{9}\) скорости автобуса. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 часа после выезда?
3. Решите уравнение: \[ (270 : (y - 12)) \times 70 = 1260 \]
4. Решите задачу.
   Периметр прямоугольника 16 см. Его ширина на 4 см короче длины. Начертите этот прямоугольник и найдите площадь.
5. Выразите в указанных единицах: $$\begin{aligned} 506\text{ см} &= \dots\text{ м }\dots\text{ см}, & 8\text{ ч }3\text{ мин} &= \dots\text{ с},\\ 10\text{ км }45\text{ м} &= \dots\text{ м}, & 2\text{ сут }8\text{ ч} &= \dots\text{ ч},\\ 3\text{ т }8\text{ ц} &= \dots\text{ кг}, & 36\text{ м}^2\,8\text{ см}^2 &= \dots\text{ см}^2,\\ 20\,590\text{ г} &= \dots\text{ кг }\dots\text{ г}, & 40\,000\text{ дм}^3 &= \dots\text{ см}^3. \end{aligned}$$

Решения задач

1. Верно ли равенство? \[ \frac{308 \times 712 : 616 - 17\,487 : 87}{500\,000 - 499\,875} = 1 \] Решение: Числитель:
   • $308 \times 712 : 616 = \frac{308}{616} \times 712 = 0,5 \times 712 = 356$
   • $17 487 : 87 = 201$
   • $356 - 201 = 155$
   Знаменатель:
   • $500 000 - 499 875 = 125$
   $\frac{155}{125} = 1,24 \neq 1$
   Ответ: неверно.
   
   
2. Из двух городов, расстояние между которыми равно 204 км, одновременно выехали мотоциклист и автобус. Скорость автобуса — 54 км/ч, а скорость мотоциклиста составляет $\frac{8}{9}$ скорости автобуса. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 часа после выезда?
   Решение:
   • Скорость мотоциклиста: $54 \times \frac{8}{9} = 48$ км/ч
   • Совместная скорость: $54 + 48 = 102$ км/ч
   • Расстояние за 2 часа: $102 \times 2 = 204$ км
   • Изначальное расстояние 204 км, через 2 часа транспортные средства встретятся через: $\frac{204}{102} = 2$ часа
   • Через 2 часа они встретятся, расстояние между ними будет 0 км
   Ответ: 0 км.
   
   
3. Решите уравнение: \[ (270 : (y - 12)) \times 70 = 1260 \] Решение: \[ 270 : (y - 12) = 1260 : 70 \quad \Leftrightarrow \quad 270 : (y - 12) = 18 \] \[ y - 12 = 270 : 18 \quad \Leftrightarrow \quad y - 12 = 15 \quad \Rightarrow \quad y = 27 \] Ответ: 27.
   
   
4. Периметр прямоугольника 16 см. Его ширина на 4 см короче длины. Найдите площадь.
   Решение: Пусть длина $x$ см, тогда ширина $(x - 4)$ см. \[ 2(x + x - 4) = 16 \quad \Leftrightarrow \quad 4x - 8 = 16 \quad \Leftrightarrow \quad 4x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \]
   • Длина: 6 см
   • Ширина: $6 - 4 = 2$ см
   • Площадь: $6 \times 2 = 12$ см²
   Ответ: 12 см².
   
   
5. Выразите в указанных единицах: $$\begin{aligned} 506\,\text{см} &= 5\,\text{м}\,6\,\text{см} \\ 8\,\text{ч}\,3\,\text{мин} &= 28 980\,\text{с} \quad (8 \times 3600 + 3 \times 60) \\ 10\,\text{км}\,45\,\text{м} &= 10 045\,\text{м} \\ 2\,\text{сут}\,8\,\text{ч} &= 56\,\text{ч} \quad (2 \times 24 + 8) \\ 3\,\text{т}\,8\,\text{ц} &= 3 800\,\text{кг} \quad (3 000 + 800) \\ 36\,\text{м}^2\,8\,\text{см}^2 &= 360 008\,\text{см}^2 \quad (36 \times 10 000 + 8) \\ 20 590\,\text{г} &= 20\,\text{кг}\,590\,\text{г} \\ 40 000\,\text{дм}^3 &= 40 000 000\,\text{см}^3 \quad (40 000 \times 1000) \end{aligned}$$