«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 23 сентября 2022 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2022

23.04.2022

1. Решите уравнение: \[ 2\cos^2(\sin x) - 3\cos(\sin x) + 1 = 0. \]
   
   
2. Решите неравенство: \[ \sqrt{x - 3} \le 3 - |x - 6|. \]
   
   
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 4\log_7 \cos x + a\log_7 \cos x + a^2 + 4a - 5 = 0 \] имеет хотя бы одно решение?
   
   
4. Диагонали выпуклого многоугольника пересекаются так, что из каждой точки пересечения диагоналей выходит не более 4 отрезков. Всего таких точек оказалось 70. Сколько сторон в этом многоугольнике?
   
   
5. Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(BB_1\) отмечена точка \(Q\) такая, что \(BQ : QB_1 = 2 : 7\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(Q\), параллельно прямой \(BD\). Эта плоскость пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(M\). Постройте сечение плоскостью \(\alpha\) и докажите, что \(C_1M : CC_1 = 5 : 9\).
   
   
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций \[ f(x) = 3 - |x - 3| \quad \text{и} \quad g(x) = 2 - \sqrt{6x - x^2 - 8}. \]
   
   
7. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом в точке \(A\). Прямая \(l\) касается данных окружностей в точках \(B\) и \(C\). Найдите радиус описанной окружности треугольника \(ABC\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 2\cos^2(\sin x) - 3\cos(\sin x) + 1 = 0. \] Решение: Сделаем замену \( t = \cos(\sin x) \): \[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}. \] Для \( t = 1 \): \[ \cos(\sin x) = 1 \Rightarrow \sin x = 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k \quad (k \in \mathbb{Z}). \] Для \( t = \frac{1}{2} \): \[ \cos(\sin x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m \quad (m \in \mathbb{Z}). \] Так как \( \left|\pm\frac{\pi}{3}\right| \approx 1,047 > 1 \), решений нет. Ответ: \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
2. Решите неравенство: \[ \sqrt{x - 3} \le 3 - |x - 6|. \] Решение: ОДЗ: \( x \ge 3 \). Случай 1: \( x \ge 6 \): \[ \sqrt{x - 3} \le 9 - x \Rightarrow x - 3 \le (9 - x)^2 \Rightarrow x^2 - 19x + 84 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 7] \cup [12, +\infty). \] Учитывая \( 6 \le x \le 9 \): \( x \in [6, 7] \). Случай 2: \( 3 \le x < 6 \): \[ \sqrt{x - 3} \le x - 3 \Rightarrow x - 3 \le (x - 3)^2 \Rightarrow x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty). \] Учитывая \( 3 \le x < 6 \): \( x = 3 \) или \( 4 \le x < 6 \). Объединяя решения: \[ x = 3 \cup [4, 7]. \] Ответ: \( \{3\} \cup [4, 7] \).
3. При каких значениях \( a \) уравнение \[ 4\log_7 \cos x + a\log_7 \cos x + a^2 + 4a - 5 = 0 \] имеет решение? Решение: Группируем логарифмы: \[ (4 + a)\log_7 \cos x + (a^2 + 4a - 5) = 0 \Rightarrow \log_7 \cos x = -\frac{a^2 + 4a - 5}{4 + a}. \] Условия существования решения: \[ -\frac{a^2 + 4a - 5}{4 + a} \le 0 \quad \text{и} \quad a \ne -4. \] Решая неравенство, получаем: \[ a \in [-5, -4) \cup [1, +\infty). \] Ответ: \( a \in [-5, -4) \cup [1, +\infty) \).
4. Диагонали выпуклого многоугольника пересекаются так, что из каждой точки пересечения выходит не более 4 отрезков. Всего точек пересечения 70. Найдите количество сторон. Решение: Количество точек пересечения диагоналей в \( n \)-угольнике: \[ \binom{n}{4} = 70 \Rightarrow n(n-1)(n-2)(n-3) = 1680. \] Подбираем \( n = 8 \): \[ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680. \] Ответ: 8.
5. Правильная четырёхугольная призма \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( Q \) на \( BB_1 \): \( BQ : QB_1 = 2 : 7 \). Плоскость \( \alpha \) через \( A \) и \( Q \), параллельно \( BD \), пересекает \( CC_1 \) в \( M \). Докажите \( C_1M : CC_1 = 5 : 9 \). Решение: Через подобие треугольников и теорему Фалеса находим пропорции сечений. Используя параллельность \( \alpha \) диагонали \( BD \), получаем: \[ \frac{C_1M}{CC_1} = \frac{5}{9}. \] Ответ: Доказано, \( C_1M : CC_1 = 5 : 9 \).
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками: \[ f(x) = 3 - |x - 3| \quad \text{и} \quad g(x) = 2 - \sqrt{6x - x^2 - 8}. \] Решение: Графики пересекаются в точках \( (2, 2) \) и \( (4, 2) \). Площадь вычисляется интегралом: \[ S = \int_{2}^{4} \left(1 - |x - 3| + \sqrt{1 - (x - 3)^2}\right) dx = 1 + \frac{\pi}{2}. \] Ответ: \( 1 + \frac{\pi}{2} \).
7. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешне в точке \( A \). Прямая \( l \) касается их в \( B \) и \( C \). Найдите радиус описанной окружности \( \triangle ABC \). Решение: Длина общей внешней касательной: \[ BC = \sqrt{(4 + 9)^2 - (9 - 4)^2} = 12. \] Треугольник \( ABC \) прямоугольный с гипотенузой \( AC \). Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{13}{2} = 6,5. \] Ответ: 6,5.