«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2022 год

1. Решите уравнение \[ \sqrt{\sin^4 x + 3\cos^4 x} = \sin 2x. \]
2. Определите, при каких значениях параметра \(a\) решения неравенства \[ \sqrt{x + a} \;\ge\; x \] образуют на числовой прямой отрезок длины \(2|a|\).
3. Решите неравенство \[ \log_{|\sin x|}\bigl(x^2 - 14x + 73\bigr) \;\ge\; \frac{2}{\log_{5}|\sin x|}. \]
4. Сколько существует таких нечётных шестизначных чисел, что каждая последующая цифра в записи слева направо больше предыдущей?
5. Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(AD\), \(CD\) и \(SB\) отмечены точки соответственно \(M\), \(N\) и \(K\) так, что \(AM:MD = CN:ND = 1:2\), \(SK = KB\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\) и найдите, в каком отношении эта плоскость делит ребро \(SC\).
6. На координатной плоскости изобразите фигуру, заданную системой неравенств \[ \begin{cases} |\,y - x\,| + |\,y + x\,| \ge 6,\\ x^2 + y^2 \le 18, \end{cases} \] и найдите её площадь.
7. Продолжение медианы треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(A\), пересекает описанную около треугольника \(ABC\) окружность в точке \(D\). Найдите длину отрезка \(BC\), если длина каждой из хорд \(AC\) и \(DC\) равна 1.

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \sqrt{\sin^4 x + 3\cos^4 x} = \sin 2x. \]
   Решение: Возведём обе части в квадрат: \[ \sin^4 x + 3\cos^4 x = \sin^2 2x. \] Используем тождества: $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2$, $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2$, $\sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x$
   Преобразуем левую часть: \[ \sin^4 x + 3\cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x + 2\cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x + 2\cos^4 x. \] Подставим: \[ 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x + 2\cos^4 x = 4\sin^2 x\cos^2 x. \] Упростим: \[ 1 + 2\cos^4 x = 6\sin^2 x\cos^2 x. \] Разделим на $\cos^4 x$ при $\cos x \neq 0$, введём замену $t = \tan^2 x$: \[ \frac{1}{\cos^4 x} + 2 = 6\tan^2 x \implies (1 + \tan^2 x)^2 + 2 = 6t \implies t^2 + 2t + 1 + 2 = 6t \implies t^2 - 4t + 3 = 0. \] Решения: $t = 1$, $t = 3$
   $\tan x = \pm1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$
   $\tan x = \pm\sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
   Проверим $\cos x = 0$: исходное уравнение при $\cos x = 0$ становится $|\sin^2 x| = \sin 2x$, решений нет.
   Проверим корни на исходное уравнение: все подходят.
   Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
   
   
2. Определите, при каких значениях параметра \(a\) решения неравенства \[ \sqrt{x + a} \;\ge\; x \] образуют на числовой прямой отрезок длины \(2|a|\).
   Решение: Область определения: $x \geq -a$. Рассмотрим случаи:
   1. $a \geq 0$: Тогда $x \in [-a, \infty)$. Разобьём на части:
      • При $x \geq 0$: возведём в квадрат: $x + a \geq x^2 \implies x^2 - x - a \leq 0$ Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$. Решением будет $x \in [\frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}{2}, \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}]$. Т.к. $x \geq 0$, отрезок решений: $x \in [0, \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}]$. Учитывая часть $x \in [-a, 0)$, общие решения: $x \in [-a, \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}]$. Длина отрезка: $\frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} + a - (-a)?$. Проверяем, возможно ошибка в интерпретации границ. Правильно учесть, что при $a \geq 0$, объединением будет $x \in [-a, \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}]$, длина равна $\frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} + a$. По условию: \[ \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}{2} + a = 2a \implies \sqrt{1 + 4a} = 2a - 1. \] Возводим в квадрат: \[ 1 + 4a = 4a^2 - 4a + 1 \implies 4a^2 - 8a = 0 \implies a(4a - 8) = 0 \implies a = 0,\,2. \] Проверка для $a = 0$: решением будет $x \in [0,1]$, длина 1 ≠ 0. Не подходит. Для $a = 2$: Длина: $\frac{1 + \sqrt{9}}{2} + 2 - (-2) = \frac{4}{2} + 4 = 6 = 2*2 = 4$. Не сходится. Возможно ошибка при подсчёте длины. Пересчёт длины при $a = 2$: начало отрезка $-2$, конец $\frac{1 + 3}{2} = 2$. Длина $2 - (-2) = 4 = 2*|2| = 4$. Подходит.
      • При $a < 0$: Область определения $x \geq |a|$ (т.к. $a$ отрицателен). Неравенство $\sqrt{x - |a|} \geq x$ возможно только при $x \leq 0$, но противоречит области определения. Решений нет.
      Ответ: $a = 2$.
   Ответ: $a = 2$.
   
   
3. Решите неравенство \[ \log_{|\sin x|}\bigl(x^2 - 14x + 73\bigr) \;\ge\; \frac{2}{\log_{5}|\sin x|}. \]
   Решение: Область определения:
   • $|\sin x| > 0$, $|\sin x| \neq 1$ ⇒ $x \neq \frac{\pi k}{2}$
   • $x^2 -14x +73 > 0$ ⇒ $(x-7)^2 +24 > 0$ ⇒ верно всегда
   Выполним замену: пусть $t = \log_{5}|\sin x|$, тогда $\log_{|\sin x|} (x^2 -14x +73) = \frac{\ln(x^2 -14x +73)}{\ln|\sin x|} = \frac{\ln(x^2 -14x +73)}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln|\sin x|} = \frac{\log_{5}(x^2 -14x +73)}{t}$ Неравенство преобразуется: \[ \frac{\log_{5}(x^2 -14x +73)}{t} \geq \frac{2}{t} \] Умножим обе части на $t$, учитывая знак:
   • Если $t > 0$ ($|\sin x| > 1$ невозможно ⇒ случай невозможен)
   • Если $t < 0$ ($0 < |\sin x| < 1$ ⇒ умножаем на отрицательное, знак неравенства меняем): \[ \log_{5}(x^2 -14x +73) \leq 2 \implies x^2 -14x +73 \leq 25 \implies x^2 -14x +48 \leq 0 \] Корни $x_1=6$, $x_2=8$, решение $x \in [6,8]$
   Учитывая область определения $0 < |\sin x| < 1$, т.е. $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi k}{2}\}$. С учётом $x \in [6,8]$, заметим, что значения 6,8 близко к π≈3.14; таким образом, в радианах область 6 ≤ x ≤ 8 соответствует приблизительно [6 рад, 8 рад], что находится вне периодов синуса (синус периодичен с периодом 2π≈6.28), нужно найти x в этом промежутке, для которых $|\sin x| <1$. Проверка для решения: $\sin x$ на промежутке [6,8] меняется от sin6≈-0.279 до sin8≈0.989. Значит, $|\sin x| <1$ везде ⇒ x∈[6,8]. Ответ: $x \in [6,8]$.
   
   
4. Сколько существует таких нечётных шестизначных чисел, что каждая последующая цифра в записи слева направо больше предыдущей?
   Решение: Число должно быть нечётным ⇒ последняя цифра 1,3,5,7,9. Остальные пять цифр — возрастающие цифры, меньшие последней. Например, если последняя цифра 9, то первые пять выбираются из цифр 1-8 (чтобы не начиналось с нуля). Для каждой последней цифры $d$ (1,3,5,7,9): Количество вариантов $\Rightarrow$ выбрать 5 различных цифр из [0,1,...,d-1], но первая цифра ≠ 0. Общее количество = количество наборов C(d-1,5) минус наборы, начинающиеся с нуля C(d-2,4). Посчитаем для каждого $d$:
   • d=1: невозможно выбрать 5 цифр из [0], суммарно 0
   • d=3: C(2,5)=0, 0
   • d=5: C(4,5)=0, 0
   • d=7: C(6,5)=6, минус C(5,4)=5 ⇒ $6 -5=1$ число
   • d=9: C(8,5)=56, минус C(7,4)=35 ⇒ $56-35=21$
   Суммируем: для d=7 →1, для d=9 →21 ⇒ итого 22 числа. Ответ: 22.
   
   
5. Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). На рёбрах \(AD\), \(CD\) и \(SB\) отмечены точки соответственно \(M\), \(N\) и \(K\) так, что $AM:MD = CN:ND = 1:2$, $SK = KB$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $MNK$ и найдите, в каком отношении эта плоскость делит ребро $SC$.
   Решение: Введём координаты: пусть $A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $D(0,3,0)$, $C(3,3,0)$, $S(1.5,1.5,h)$. Точки $M$ на $AD$: $AM:MD=1:2 ⇒ M=(0,1,0)$. Точки $N$ на $CD$: $CN:ND=1:2 ⇒ N=(2,3,0)$. Точка $K$ на $SB$: $SK=KB ⇒ K=(SA_vect)$ координаты K=( (3+1.5)/2, (0+1.5)/2, (0+h)/2 )=(2.25,0.75,h/2). Построим уравнение плоскости MNK. Векторы MN = (2-0, 3-1,0-0)=(2,2,0). Вектор MK = (2.25-0,0.75-1,h/2-0)=(2.25,-0.25,h/2). Нормаль плоскости: векторное произведение MN×MK = \[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & 0 \\ 2.25 & -0.25 & h/2 \end{vmatrix} = i(2 \cdot h/2 - 0*(-0.25)) - j(2 \cdot h/2 - 0*2.25) + k(2*(-0.25) - 2*2.25) = (h)i - (h)j + (-0.5 -4.5)k = (h, -h, -5). \] Уравнение плоскости: $h(x -0) - h(y -1) -5(z -0) =0 ⇒ h x - h y + h -5z=0 ⇒ h x - h y -5 z = -h$. Теперь найдём точку пересечения с ребром SC. Координаты S(1.5,1.5,h), C(3,3,0). Параметризация SC: $x=1.5 +1.5t$, $y=1.5 +1.5t$, $z=h(1-t)$, где t ∈ [0,1]. Подставим в уравнение плоскости: \[ h(1.5 +1.5t) - h(1.5 +1.5t) -5h(1 -t) = -h. \] Левая часть: \[ h(1.5 +1.5t -1.5 -1.5t) -5h +5ht = 0 -5h +5ht = -5h(1 - t) \] Уравнение: \[ -5h(1 - t) = -h ⇒ 5(1 - t) =1 ⇒ 1 - t = 1/5 ⇒ t=4/5. \] Точка делит ребро SC в отношении t:(1-t) = 4/5:1/5 ⇒ отношение SK:KC=4:1. Ответ: 4:1.
   
   
6. На координатной плоскости изобразите фигуру, заданную системой неравенств \[ \begin{cases} |\,y - x\,| + |\,y + x\,| \ge 6,\\ x^2 + y^2 \le 18. \end{cases} \] Найдите её площадь.
   Решение: Первое неравенство: сумма |y - x| + |y + x| = 2max(|x|,|y|) ≥6 ⇒ max(|x|,|y|) ≥3 ⇒ квадрат со стороной 6, повёрнутый на 45°, объединение четырёх полос. Второе неравенство: круг радиуса $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ ≈4.24. Фигура — пересечение внешней области квадрата и круга. Геометрически: внешность квадрата внутри круга. Форма фигуры — круг с вырезанным квадратом. Площадь равна площади круга минус площадь перекрытия. Найдём площадь пересечения квадрата и круга. Квадрат |x| ≤3, |y| ≤3 (повёрнутый). Радиус окружности 3√2, поэтому квадрат целиком лежит в круге. Тогда исходное условие требует внешности квадрата и круга — противоречие. Переосмысление первого неравенства: Перепишем первое неравенство: \[ |y - x| + |y + x| = 2\max(|x|,|y|) \ge 6 \Rightarrow \max(|x|, |y|) \ge 3 \] Это область вне квадрата со стороной 6, ориентированного по диагоналям. Круг x²+y² ≤18 пересекает этот квадрат. Площадь фигуры — площадь круга минус площадь пересечения круга с квадратом. Вычислим площадь пересечения. В каждом октанте пересечение — сегмент круга. Общая площадь пересечения — 4 сегмента. Однако проще использовать координаты или полярные координаты. Для нахождения площади удобно заметить, что перекрестье квадрата в круге — это восемь равных сегментов. Но точные вычисления требуют интеграла. Однако окружность радиуса 3√2 проходит через вершины квадрата (например, точка (3,3): x²+y²=9+9=18). Таким образом, квадрат касается окружности в своих вершинах. Тогда площадь фигуры — площадь круга минус площадь квадрата. Площадь квадрата: (6/√2)² = 18. Площадь круга: 18π. Значит площадь: 18π -18 = 18(π-1). Однако квадрат имеет площадь (диагональ 6, сторона 6/√2, площадь (6/√2)² = 18). Ответ: площадь равна площади круга минус квадрат: 18π -18 = 18(π -1). Ответ: $18(\pi -1)$.
   
   
7. Продолжение медианы треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(A\), пересекает описанную около треугольника \(ABC\) окружность в точке \(D\). Найдите длину отрезка \(BC\), если длина каждой из хорд \(AC\) и \(DC\) равна 1.
   Решение: Пусть AM — медиана, продлённая до точки D на описанной окружности. Используем теорему о степени точки M относительно окружности: степень точки M равна $MA \cdot MD = MB \cdot MC$. Поскольку M — середина BC, BM = MC = x/2, где BC =x. По условию AC=1, DC=1. Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку DC=AC=1 ⇒ треугольник ADC — равнобедренный. Возможно, углы при основании равны. Поскольку D лежит на окружности, угол ABC равен углу ADC (по свойству вписанных углов). Также можно использовать теорему косинусов в треугольниках ADC и ABC. Пусть угол ACB = α. Тогда угол ADC = α. По теореме косинусов для треугольника ADC: \[ AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2AC \cdot DC \cos \alpha \Rightarrow AD^2 = 2 - 2\cos\alpha. \] Также для треугольника ABC: \[ AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos\alpha = AC^2 =1. \] Но сложно связать с медианой. Пусть AM = m, MD = m *k. По теореме степени точки M: \[ MA \cdot MD = MB \cdot MC \Rightarrow m \cdot (m*k) = (x/2)^2 \Rightarrow k = (x^2)/(4m^2). \] Однако медиана AM в треугольнике ABC: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2 - x^2}. \] Кроме того, AD = AM + MD = m(1 + k) = m + (x²)/(4m). Из треугольника ADC с DC=1 и AD=... сложно. Альтернативно, применим теорему пересечения хорд: AC·CD =AD·DC=1·1=ED·EA, но лучше использовать свойства центральных углов. Возможно более элегантное решение через степень точки M и связь через углы. Итог возможен BC=√3. При AC=1, угол может быть 60 градусов. Но строгое решение требует подтверждения. Вероятный ответ: BC=√3.
   Ответ: $\boxed{\sqrt{3}}$.