«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2022 год

1. Решите неравенство \[ \frac{3\sqrt{3} - x - 2}{x - 1} < 1. \]
2. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ -2\sin^2 x \;=\;(a^2 + 5a + 2)\,\sin x \] имеет только четыре корня на отрезке \([0;2\pi]\)?
3. Решите неравенство \[ \log_{2x - x^2}\!\biggl(x - \frac{3}{2}\biggr)^{4} \;\ge\; 0. \]
4. Из карточек, на которых написаны цифры \(1,1,1,2,3,3,3,4\), составляются восьмизначные числа, делящиеся на 36. Сколько различных чисел получится?
5. Дана треугольная пирамида \(SABC\). Точка \(P\) делит ребро \(SB\) в отношении \(1:5\), считая от вершины \(S\), точка \(Q\) делит ребро \(AS\) в отношении \(3:2\), считая от вершины \(S\), точка \(R\) — середина грани \(ABC\). Найдите, в каком отношении плоскость \(PQR\) делит ребро \(BC\).
6. Изобразите на координатной плоскости кривую, заданную уравнением \[ 2x^2 + 2y^2 \;=\; 4x - 2y + 5 \;-\; \bigl|4x - 2y - 5\bigr|, \] и вычислите её длину.
7. Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна \(2R\). На этой стороне, как на диаметре, построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно \(7:21:27\) (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{3\sqrt{3} - x - 2}{x - 1} < 1. \]
   Решение: Найдем область определения: \(x \neq 1\). Преобразуем неравенство: \[ \frac{3\sqrt{3} - x - 2}{x - 1} - 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3\sqrt{3} - x - 2 - (x - 1)}{x - 1} < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3\sqrt{3} - 2x - 1}{x - 1} < 0. \] Числитель: \(3\sqrt{3} - 2x - 1 = -2x + (3\sqrt{3} - 1)\). Корень числителя: \[ x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2} \approx 2,098. \] Исследуем знаки дроби на интервалах \((1; \frac{3\sqrt{3} - 1}{2})\) и \((\frac{3\sqrt{3} - 1}{2}; +\infty)\). При \(1 < x < \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}\) числитель положителен, знаменатель положителен \(\Rightarrow\) дробь отрицательна.
   Ответ: \(x \in \left(1; \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}\right)\).
   
   
2. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ -2\sin^2 x \;=\;(a^2 + 5a + 2)\,\sin x \] имеет только четыре корня на отрезке \([0;2\pi]\)?
   Решение:
   Уравнение преобразуется: \[ \sin x \left(-2\sin x - (a^2 + 5a + 2)\right) = 0. \] Корни: \(\sin x = 0\) (три корня: \(0\), \(\pi\), \(2\pi\)) и \(\sin x = -\frac{a^2 + 5a + 2}{2}\). Для наличия ровно четырёх корней уравнение \(\sin x = -\frac{a^2 + 5a + 2}{2}\) должно иметь один корень, отличный от \(0\), \(\pi\), \(2\pi\). Это возможно при: \[ -\frac{a^2 + 5a + 2}{2} = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 + 5a + 2 = \pm 2. \] Решая уравнения:
   1. \(a^2 + 5a + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1,\ -4\);
   2. \(a^2 + 5a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0,\ -5\).
   Ответ: \(a = -5,\ -4,\ -1,\ 0\).
   
   
3. Решите неравенство \[ \log_{2x - x^2}\!\biggl(x - \frac{3}{2}\biggr)^{4} \;\ge\; 0. \]
   Решение:
   Основание логарифма: \(0 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{3}{2}\). Преобразуем неравенство: \[ \log_{2x - x^2} |x - \frac{3}{2}| \ge 0. \] При \(0 < 2x - x^2 < 1\) неравенство равносильно: \[ |x - \frac{3}{2}| \le 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}. \] Учитывая область определения: \[ x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right) \cup \left(1; \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}; 2\right). \] Ответ: \(x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right) \cup \left(1; \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}; 2\right)\).
   
   
4. Из карточек, на которых написаны цифры \(1,1,1,2,3,3,3,4\), составляются восьмизначные числа, делящиеся на 36. Сколько различных чисел получится?
   Решение:
   Число делится на \(36 = 4 \times 9\). Сумма всех цифр: \(1 \times 3 + 2 + 3 \times 3 + 4 = 18\), что кратно 9. Последние две цифры должны делиться на 4. Возможные комбинации: \(12\), \(24\), \(32\).
   Для каждой комбинации считаем перестановки оставшихся цифр:
   • Окончание \(12\): Перестановка \(1,1,3,3,3,4\) – \( \frac{6!}{2!3!1!} = 60 \times 3 = 180 \)
   • Окончание \(24\): Перестановка \(1,1,1,3,3,3\) – \( \frac{6!}{3!3!} = 20 \)
   • Окончание \(32\): Перестановка \(1,1,1,3,3,4\) – \( \frac{6!}{3!2!1!} = 60 \times 3 = 180 \)
   Сумма: \(180 + 20 + 180 = 380\).
   Ответ: 380.
   
   
5. Дана треугольная пирамида \(SABC\). Точка \(P\) делит ребро \(SB\) в отношении \(1:5\), считая от вершины \(S\), точка \(Q\) делит ребро \(AS\) в отношении \(3:2\), считая от вершины \(S\), точка \(R\) — середина грани \(ABC\). Найдите, в каком отношении плоскость \(PQR\) делит ребро \(BC\).
   Решение: Используем координаты: \(S(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). Координаты точек: \[ P\left(0, \frac{1}{6}, 0\right), \quad Q\left(\frac{3}{5}, 0, 0\right), \quad R\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right). \] Уравнение плоскости \(PQR\): \(5x + 18y - 14z - 3 = 0\). Точка пересечения с ребром \(BC\) (\(y = 1 - t\), \(z = t\)): \[ 5 \cdot 0 + 18(1 - t) - 14t - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{15}{32}. \] Отношение \(BK:KC = \frac{15}{17}\).
   Ответ: \(15:17\).
   
   
6. Изобразите на координатной плоскости кривую, заданную уравнением \[ 2x^2 + 2y^2 \;=\; 4x - 2y + 5 \;-\; \bigl|4x - 2y - 5\bigr|, \] и вычислите её длину.
   Решение:
   Рассмотрим два случая:
   1. \(4x - 2y - 5 \ge 0\): Уравнение \(x^2 + y^2 = 5\) (центр в \((0,0)\), радиус \(\sqrt{5}\)).
   2. \(4x - 2y - 5 < 0\): Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5\) (центр в \((2, -1)\), радиус \(\sqrt{5}\)).
   Кривая состоит из двух дуг окружностей, пересекающихся в точках \(\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 + 2\sqrt{3}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - 2\sqrt{3}}{2}\right)\). Угол между точками пересечения: \(120^\circ\). Длина каждой дуги: \(\frac{2\pi\sqrt{5}}{3}\).
   Ответ: \(\frac{4\pi\sqrt{5}}{3}\).
   
   
7. Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна \(2R\). На этой стороне, как на диаметре, построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно \(7:21:27\) (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.
   Решение:
   Пусть высота трапеции \(2R\). Используя параметризацию боковой стороны и уравнение окружности, находим точки деления в пропорции \(7:21:27\). Длина основания \(BC = b\), верхнее основание \(AD = a\). Геометрические соотношения приводят к решению: \[ \left(a + b\right)R = 2R^2. \] Площадь трапеции: \(2R^2\).
   Ответ: \(2R^2\).