8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
СкачатьПечать
youit.school ©

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы


2022




  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{\sin 2x} = \sqrt{3(\cos x + \sin x) - 3} \]

  2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: \[ \log_{x^2 + y^2}(x + y) > 1 \]

  3. Решите неравенство: \[ \log_{x - 1}\left( 4\log_3 x - 6x \log_3 2 + 10 \right) \le 0 \]

  4. Любитель коктейлей Игнат смешал 300 мл морковного сока с 200 мл сливок. Тщательно перемешав смесь, он попробовал её и решил, что сливок слишком много. Игнат налил в пол-литровый графин 200 мл морковного сока, а оставшиеся 300 мл заполнил приготовленной смесью. Каково процентное содержание сливок в полученном напитке?

  5. В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB = 2\sqrt{10}\), высота призмы равна \(2\sqrt{5}\).
    1. [а)] Докажите, что сечение призмы плоскостью \(BCM\), где \(M\) — середина ребра \(A_1C_1\), является прямоугольной трапецией.
    2. [б)] Найдите расстояние от точки \(C_1\) до плоскости \(BCM\).


  6. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ \sqrt{x - 8} = -ax + 3a + 2 \] имеет единственное решение.

  7. В четырёхугольник \(ABCD\) площадью 2 вписана окружность, касающаяся сторон \(AB\) и \(CD\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Отрезок \(KL\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(M\). Известно, что \(AM = MC = 1\). Найдите длину диагонали \(BD\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{\sin 2x} = \sqrt{3(\cos x + \sin x) - 3} \] Решение: Возведем обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны): \[ \sin 2x = 3(\cos x + \sin x) - 3 \] Раскроем синус двойного угла: \[ 2\sin x \cos x = 3\cos x + 3\sin x - 3 \] Перенесем все слагаемые влево: \[ 2\sin x \cos x - 3\cos x - 3\sin x + 3 = 0 \] Сгруппируем слагаемые: \[ (2\sin x \cos x - 3\cos x) - (3\sin x - 3) = \cos x(2\sin x - 3) - 3(\sin x - 1) = 0 \] Рассмотрим замену \( t = \sin x + \cos x \), тогда \( \sin 2x = t^2 - 1 \): \[ t^2 - 1 = 3t - 3 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 3t + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \text{ или } t = 2 \] Так как \( t = \sin x + \cos x \leq \sqrt{2} \), остается только решение \( t = 1 \): \[ \sin x + \cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \] \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi n \] или \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] Ответ: \( x = 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

  2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: \[ \log_{x^2 + y^2}(x + y) > 1 \] Решение: Рассмотрим два случая:
    1. \( x^2 + y^2 > 1 \): Неравенство равносильно \( x + y > x^2 + y^2 \). Преобразуем: \[ x^2 - x + y^2 - y < 0 \quad \Rightarrow \quad \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 < \frac{1}{2} \] Это круг радиуса \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) с центром в \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
    2. \( 0 < x^2 + y^2 < 1 \): Неравенство равносильно \( 0 < x + y 0 \) это сужает область внутри круга из первого случая.
    Ответ: Фигура представляет собой пересечение круга \( \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 1 \) (внутри круга) и \( x + y > 0 \) (внешность единичного круга). Площадь равна площади круга \( \frac{\pi}{2} \).

  3. Решите неравенство: \[ \log_{x - 1}\left( 4\log_3 x - 6x \log_3 2 + 10 \right) \le 0 \] Решение: ОДЗ:
    • \( x - 1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \)
    • \( x - 1 \neq 1 \) ⇒ \( x \neq 2 \)
    • \( 4\log_3 x - 6x \log_3 2 + 10 > 0 \)
    Рассмотрим два случая:
    1. \( 1 < x < 2 \): Основание логарифма \( 0 < x - 1 0 \). Решаем графически: \( x \in (1, 2) \cup (2, \infty) \).
    2. \( x > 2 \): Основание логарифма \( x - 1 > 1 \). Неравенство: \[ 4\log_3 x - 6x \log_3 2 + 10 \leq 1 \] Решениями являются точки где функция \( f(x) = 4\log_3 x - 6x \log_3 2 + 9 \leq 0 \). Построение графика показывает решение \( x \geq 3 \).
    Ответ: \( x \in (1, 2) \cup [3, \infty) \).

  4. После смешивания исходного состава (300 мл сока и 200 мл сливок) получаем 500 мл смеси с 40% сливок. Добавляя 200 мл сока и 300 мл смеси: \[ \text{Сливок в 300 мл смеси} = 300 \cdot 0.4 = 120 \text{ мл} \] Общий объем: \[ 200 + 300 = 500 \text{ мл} \quad \Rightarrow \quad \frac{120}{500} \cdot 100% = 24\% \] Ответ: 24\%.

    1. [a)] Треугольник \( ABC \) — равнобедренный прямоугольный, \( AB = 2\sqrt{10} \). Катеты: \[ AC = BC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{5} \] Поскольку \( M \) — середина \( A_1C_1 \), сечение \( BCM \) соединяет \( BC \) (параллельно \( B_1C_1 \)) и \( M \). Получаем трапецию \( BCMN \), где \( MN \parallel BC \). Поскольку призма прямая, боковые грани перпендикулярны основанию, следовательно, сечение прямоугольное.
    2. [б)] Введем координаты: \( A(0,0,0), B(2\sqrt{5},0,0), C(0,2\sqrt{5},0), C_1(0,2\sqrt{5},2\sqrt{5}) \). Уравнение плоскости \( BCM \): \[ \frac{x}{2\sqrt{5}} + \frac{y}{2\sqrt{5}} + \frac{z}{2\sqrt{5}} = 1 \] Расстояние от \( C_1(0,2\sqrt{5},2\sqrt{5}) \): \[ d = \frac{|0 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)^2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}} = \frac{4 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \] Ответ: а) Доказано; б) \( \frac{20}{\sqrt{3}} \).


  6. Уравнение: \[ \sqrt{x - 8} = -ax + 3a + 2 \] При \( x \geq 8 \). Функция слева — парабола, справа — прямая. Единственное решение будет при касании или пересечении в одной точке. Замена \( t = \sqrt{x - 8} \), \( t \geq 0 \): \[ t = -a(t^2 + 8) + 3a + 2 \] \[ a t^2 + t - 5a + 2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 1 + 4a(5a - 2) = 20a^2 - 8a + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 80}}{40} \quad (\text{нет решений}) \] Рассмотрим предельный случай \( x = 8 \): \[ 0 = -8a + 3a + 2 \quad \Rightarrow \quad -5a + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2}{5} \] Ответ: \( a \in (-\infty, 0] \cup \left\{\frac{2}{5}\right\} \).

  7. В описанном четырёхугольнике \( AB + CD = BC + AD \). Из условия \( AM = MC \), точка \( M \) — середина \( AC \). По теореме Ньютона для описанных четырёхугольников: \[ KL \text{ проходит через точку пересечения диагоналей} \] Но \( KL \) пересекает \( AC \) в \( M \), значит \( BD \) также проходит через \( M \). Из равенства \( AM = MC \) следует \( BD \) делится \( M \) пополам. По формуле площади: \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \theta = 2 \] При \( AC = 2 \): \[ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BD \cdot \sin \theta = 2 \quad \Rightarrow \quad BD \cdot \sin \theta = 2 \] Поскольку \( \theta = 90^\circ \), \( BD = 2 \). Ответ: 2.
Материалы школы Юайти