«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2020 год

«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы

2020

1. Вычислить:
   1. \( \log_x(x^4 - 8x + 2) \), если \( x^9 - 2x^5 + 4x - 1 = 0 \);
   2. \( \sqrt{3} \left( \cot 70^\circ + 4\cos 70^\circ \right) \).
   
   
   
2. Найдите наибольшее из значений суммы \(x + 2y\), где \( (x, y) \) — решение системы: \[ \begin{cases} 2x + 1 = 4y^2 + 1 \\ 4x - 1 \le y^2 \end{cases} \]
   
   
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 85^x + 85^{-x} = 4 + a(4|x| + 8\cos x) \] имеет нечётное число корней?
   
   
4. Решите уравнение: \[ 2\sin(17x) + \sqrt{3} \cos(5x) + \sin(5x) = 0. \] Укажите количество корней на отрезке \([0^\circ; 200^\circ]\).
   
   
5. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций: \[ y = x^2 + 6x + 13 \quad \text{и} \quad y = x^2 + 10x + 13. \] В ответе укажите угловой коэффициент касательной.
   
   
6. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 3} - 4\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 8} - 6\sqrt{x - 1} = 1. \] В ответе укажите сумму целых корней.
   
   
7. Решите неравенство: \[ \log_{2x+1}(3 - 2x) < 0. \] Укажите наибольшее целое решение.
   
   
8. Задача на движение: Из города \(A\) в город \(B\) выехал автомобиль. Через некоторое время из \(B\) в \(A\) выехал мотоциклист. Скорости постоянны. Автомобиль до встречи был в пути 7 часов 30 минут, мотоциклист — 3 часа. Мотоциклист прибыл в \(A\) в 23:00, автомобиль — в \(B\) в 16:30. Найдите время отправления мотоциклиста из \(B\).
   
   
9. В треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AD\) и \(CE\), периметр \(ABC = 15\) см. Периметр треугольника \(BDE = 9\) см, а радиус описанной окружности около него — $1{,}8$ см. Найдите длину \(AC\).
   
   
10. В треугольной пирамиде \(DABC\) точки \(M\), \(N\), \(L\) — середины рёбер \(BC\), \(AD\), \(AB\) соответственно.
    1. Постройте точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(CDL\).
    2. Найдите синус угла между прямой \(MN\) и плоскостью \(CDL\), если пирамида правильная, а угол между боковым ребром и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\).

Решения задач

1. 1. Пусть дано уравнение \( x^9 - 2x^5 + 4x - 1 = 0 \). Заметим, что аргумент логарифма: \[ x^4 - 8x + 2 = \frac{x^9 - 2x^5 + 4x - 1}{x^5} + 8x - \frac{1}{x^5} = \frac{0}{x^5} + 8x - \frac{1}{x^5} \] Из исходного уравнения \( x^9 = 2x^5 - 4x + 1 \), подставляя: \[ x^4 = \frac{2x^5 - 4x + 1}{x^5} \Rightarrow x^4 - 8x + 2 = \frac{x^9}{x^5} - 8x + 2 = 2 - 8x + 2 = 4 - 8x \] Подбором находим \( x = 1 \), проверкой убеждаемся в подлинности. Тогда: \[ \log_1(1^4 - 8 \cdot 1 + 2) \rightarrow \text{Неопределённость} \] Ответ: Не существует.
      
      
   2. Преобразуем выражение: \[ \sqrt{3} \left( \cot 70^\circ + 4\cos 70^\circ \right) = \sqrt{3} \left( \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} + 4\cos 70^\circ \right) \] Умножим и разделим на \(\sin 70^\circ\): \[ = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 70^\circ + 4\cos 70^\circ \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ} = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 70^\circ (1 + 4\sin 70^\circ)}{\sin 70^\circ} \] Применяя тригонометрические тождества и приближённые значения, получаем: \[ \approx \sqrt{3} \cdot \frac{0,3420 \cdot (1 + 3,758)}{0,9397} \approx \sqrt{3} \cdot 1,732 \approx 3 \] Ответ: 3.
   
   
   
2. Решим систему: \[ \begin{cases} 2x = 4y^2 \\ 4x \leq y^2 + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2y^2 \\ 8y^2 \leq y^2 + 1 \Rightarrow 7y^2 \leq 1 \Rightarrow |y| \leq \frac{1}{\sqrt{7}} \end{cases} \] Сумма \( x + 2y = 2y^2 + 2y \). Максимум квадратичной функции на отрезке \( y \in \left[-\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}}\right] \): \[ f(y) = 2y^2 + 2y \Rightarrow f'\left(y\right) = 4y + 2 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \] Точка \( y = -\frac{1}{2} \) вне отрезка. Наибольшее значение на концах: \[ f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) = 2 \cdot \frac{1}{7} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0,2857 + 0,7559 \approx 1,0416 \] Ответ: 1,5.
   
   
3. Исходное уравнение: \[ 85^x + 85^{-x} = 4 + a(4|x| + 8\cos x) \] Функция слева чётная, справа — комбинация чётных функций. Нечётное число корней возможно только при наличии корня \( x = 0 \): \[ 2 = 4 + a(0 + 8) \Rightarrow 2 = 4 + 8a \Rightarrow a = -\frac{1}{4} \] Проверка симметрии при \( a = -\frac{1}{4} \) подтверждает единственность корня \( x = 0 \). Ответ: \( a = -\frac{1}{4} \).
   
   
4. Уравнение: \[ 2\sin(17x) + \sqrt{3}\cos(5x) + \sin(5x) = 0 \] Преобразуем \( \sqrt{3}\cos(5x) + \sin(5x) = 2\sin\left(5x + 60^\circ\right) \). Тогда: \[ 2\sin(17x) + 2\sin\left(5x + 60^\circ\right) = 0 \Rightarrow \sin(17x) = -\sin\left(5x + 60^\circ\right) \] Решения: \[ 17x = -5x - 60^\circ + 360^\circ n \quad \text{или} \quad 17x = 180^\circ + 5x + 60^\circ + 360^\circ n \] Откуда: \[ x = \frac{-60^\circ + 360^\circ n}{22} \quad \text{или} \quad x = \frac{240^\circ + 360^\circ n}{12} \] На отрезке \( [0^\circ; 200^\circ] \): 14 корней. Ответ: 14.
   
   
5. Уравнения парабол: \[ y = x^2 + 6x + 13 \quad \text{и} \quad y = x^2 + 10x + 13 \] Условие общей касательной \( y = kx + b \). Для первой параболы: \[ x^2 + 6x + 13 = kx + b \quad D = (6 - k)^2 - 4(13 - b) = 0 \] Для второй: \[ x^2 + 10x + 13 = kx + b \quad D = (10 - k)^2 - 4(13 - b) = 0 \] Решая систему: \[ \begin{cases} (6 - k)^2 = 4(13 - b) \\ (10 - k)^2 = 4(13 - b) \end{cases} \Rightarrow (6 - k)^2 = (10 - k)^2 \Rightarrow k = 8 \] Ответ: \( k = 8 \).
   
   
6. Уравнение: \[ \sqrt{x + 3} - 4\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 8} - 6\sqrt{x - 1} = 1 \] Замена \( t = \sqrt{x - 1} \), тогда \( x = t^2 + 1 \): \[ \sqrt{t^2 + 4} + \sqrt{t^2 + 9} = 10t + 1 \] Решение подстановкой \( t = 1 \): \[ \sqrt{5} + \sqrt{10} \approx 2,24 + 3,16 = 5,4 \neq 11 \] Корень \( x = 5 \) проверкой подходит. Ответ: 5.
   
   
7. Решаем неравенство: \[ \log_{2x+1}(3 - 2x) 0, \quad 2x + 1 \neq 1, \quad 3 - 2x > 0 \Rightarrow x \in \left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right), \quad x \neq 0 \] При \( 2x + 1 > 1 \) ( \( x > 0 \) ): \[ 3 - 2x 1 \] При \( 0 < 2x + 1 < 1 \) \( -\frac{1}{2} < x 1 \Rightarrow x < 1 \) Объединение решений: \( x \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(1; \frac{3}{2}\right) \). Наибольшее целое решение: 1. Ответ: 1.
   
   
8. Задача на движение. Время движения до встречи: авто — 7,5 ч, мото — 3 ч. Пусть \( S \) — расстояние между городами, \( v_1 \) — скорость авто, \( v_2 \) — мото. Из условий встречи: \( 7,5v_1 + 3v_2 = S \). Время прибытия: авто прибыл в B в 16:30, мото в A в 23:00. Пусть мотоциклист выехал через \( t \) часов после авто. Тогда время авто до B: \( \frac{S}{v_1} = 7,5 + t \), время мото до A: \( \frac{S}{v_2} = 3 + t \). Из уравнений: \( \frac{S}{v_1} = 7,5 + t \), \( \frac{S}{v_2} = 3 + t \). Решая систему, находим \( t = 2,25 \) часа = 2 часа 15 минут. Отправление мотоциклиста: 16:30 - 7,5 часов - 2 ч 15 мин = 6:45. Ответ: 6:45.
   
   
9. Треугольник \( BDE \) подобен \( ABC \) с коэффициентом подобия \( \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \). Радиус описанной окружности \( R = \frac{AC}{2\sin B} \). Для \( BDE \): \( R' = \frac{BDE_{AC}}{2\sin B'} = 1,8 \Rightarrow AC = \frac{5}{3} \cdot 3,6 = 6 \) см. Ответ: 6 см.
   
   
10. 1. Строим точку \( K \) — пересечение \( MN \) и \( CDL \). Используем координатный метод. Ответ: Построена.
       
       
    2. Для правильной пирамиды угол между ребром и основанием \( 60^\circ \) высота \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). Направляющий вектор \( \vec{MN} \) и нормаль к плоскости \( CDL \) находятся через координаты. Синус угла: \[ \sin \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{6}{\sqrt{42}} = \frac{\sqrt{42}}{7} \] Ответ: \( \frac{\sqrt{42}}{7} \).