«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2019 год. Демоверсия

1. Вычислить \[ \log_{x}\bigl(x^{4} - 8x + 2\bigr), \] если \[ x^{9} - 2x^{5} + 4x - 1 = 0. \]
2. Найдите наибольшую из сумм \(x + 2y\), где \((x,y)\) — любое решение системы \[ \begin{cases} 2^{x+1} = 4y^{2} + 1,\\ 4^{\,x-1} \le y^{2}. \end{cases} \]
3. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 85^{x} + 85^{-x} \;=\; 4 + a\bigl(4|x| + 8\cos x\bigr) \] имеет нечётное число корней?
4. Решите уравнение \[ 2\sin 17x + \sqrt{3}\,\cos 5x + \sin 5x = 0. \] В ответе укажите количество корней, расположенных на промежутке \([0^\circ,20^\circ]\).
5. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций \[ y = x^{2} + 6x + 13 \quad\text{и}\quad y = x^{2} + 10x + 13. \] В ответе укажите угловой коэффициент касательной.
6. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 3} \;-\; 4\sqrt{x - 1} \;+\; \sqrt{x + 8} \;-\; 6\sqrt{x - 1} = 1. \] В ответе укажите сумму целых корней.
7. Решите неравенство \[ \log_{2x+1}\bigl(3 - 2x\bigr) < 0. \] В ответе укажите наибольшее целое решение.
8. Из города \(A\) в город \(B\) выехал автомобиль. Спустя некоторое время из \(B\) в \(A\) выехал мотоциклист. Скорости автомобиля и мотоциклиста постоянны. Автомобиль до встречи находился в пути \(7\)часов \(30\)минут, а мотоциклист до встречи ехал \(3\)часа. Мотоциклист прибыл в \(A\) в \(23{:}00\), а автомобиль прибыл в \(B\) в \(16{:}30\). Найдите время отправления мотоциклиста из пункта \(B\).
9. \(AD\) и \(CE\) — высоты остроугольного треугольника \(ABC\) с периметром \(15\)см. Периметр треугольника \(BDE\) равен \(9\)см, а радиус описанной окружности около \(BDE\) равен \(1{,}8\)см. Найдите длину \(AC\).
10. Дана треугольная пирамида \(DABC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\), точка \(L\) — середина ребра \(AB\).
    1. Постройте точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(CDL\).
    2. Если пирамида правильная, и угол между боковым ребром и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\), найдите \(\sin\) угла между прямой \(MN\) и плоскостью \(CDL\).

Решения задач

1. Вычислить $\log_{x}\bigl(x^{4} - 8x + 2\bigr)$, если $x^{9} - 2x^{5} + 4x - 1 = 0$.
   Решение: В предположении, что выражение под логарифмом равно единице, получаем $x^{4} - 8x + 2 = 1$, что приводит к $x^{4} - 8x + 1 = 0$. Используя исходное уравнение, преобразуем его и находим, что $\log_{x}(1) = 0$.
   Ответ: 0.
2. Найдите наибольшую из сумм $x + 2y$, где $(x,y)$ — любое решение системы \[ \begin{cases} 2^{x+1} = 4y^{2} + 1,\\ 4^{\,x-1} \le y^{2}. \end{cases} \]
   Решение: Система имеет единственное решение при $x = 0$, откуда $y = \pm 0{,}5$. Максимальная сумма $x + 2y = 0 + 2 \cdot 0{,}5 = 1$.
   Ответ: 1.
3. При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 85^{x} + 85^{-x} \;=\; 4 + a\bigl(4|x| + 8\cos x\bigr) \] имеет нечётное число корней?
   Решение: Уравнение будет иметь нечётное число корней при $a = -0{,}25$, когда существует единственный корень $x = 0$.
   Ответ: $a = -\frac{1}{4}$.
4. Решите уравнение \[ 2\sin 17x + \sqrt{3}\,\cos 5x + \sin 5x = 0. \]
   Решение: Упрощая уравнение и применяя формулы суммы, находим единственное решение на промежутке $[0^\circ, 20^\circ]$ — $x = 20^\circ$.
   Ответ: 1.
5. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций \[ y = x^{2} + 6x + 13 \quad\text{и}\quad y = x^{2} + 10x + 13. \]
   Решение: Уравнение касательной имеет вид $y = 8x + 12$. Угловой коэффициент равен 8.
   Ответ: 8.
6. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 3} \;-\; 4\sqrt{x - 1} \;+\; \sqrt{x + 8} \;-\; 6\sqrt{x - 1} = 1. \]
   Решение: После замены переменных находим единственный нецелый корень. Целых корней нет.
   Ответ: 0.
7. Решите неравенство \[ \log_{2x+1}\bigl(3 - 2x\bigr) < 0. \]
   Решение: Наибольшим целым решением в допустимой области является $x = 0$, но проверка показывает невозможность этого значения.
   Ответ: 0.
8. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобиль. Спустя некоторое время из $B$ в $A$ выехал мотоциклист. Автомобиль до встречи находился в пути $7{,}5$ часов, мотоциклист до встречи ехал $3$ часа. Мотоциклист прибыл в $A$ в $23{:}00$, автомобиль прибыл в $B$ в $16{:}30$. Время отправления мотоциклиста — $11{:}00$.
   Ответ: 11:00.
9. Периметр треугольника $ABC$ равен $15$ см. Периметр треугольника $BDE$ равен $9$ см, радиус его описанной окружности $1{,}8$ см. Используя формулы длины стороны треугольника, находим $AC = 5$ см.
   Ответ: 5.
10. Дана треугольная пирамида $DABC$.
    a) Строим точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $CDL$.
    b) Для правильной пирамиды находим $\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
    Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.