«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2018 год. Демоверсия

1. Вычислить \(\log_x(x^4 - 8x + 2)\), если \(x^9 - 2x^5 + 4x - 1 = 0\).
2. Найдите наибольшую из сумм \((x+2y)\), где \((x; y)\) — любое решение системы: \[ \begin{cases} 2^{x+1} = 4y^2 + 1,\\ 4^{x-1} \le y^2. \end{cases} \]
3. При каких параметрах \(a\) уравнение \[ 85^x + 85^{-x} = 4 + a\bigl(4|x| + 8\cos x\bigr) \] имеет нечётное число корней?
4. Решите уравнение \[ 2\sin17x + \sqrt{3}\cos5x + \sin5x = 0. \] В ответе укажите количество корней, расположенных на промежутке \([0^\circ;20^\circ]\).
5. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций \[ y = x^2 + 6x + 13 \quad\text{и}\quad y = x^2 + 10x + 13. \] В ответе укажите угловой коэффициент касательной.
6. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 3} - 4\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 8} - 6\sqrt{x - 1} = 1. \] В ответе укажите сумму целых корней уравнения.
7. Решите неравенство: \[ \log_{2x+1}(3 - 2x) < 0. \] В ответе укажите наибольшее целое решение.
8. Из города \(A\) в город \(B\) выехал автомобиль. Спустя некоторое время из \(B\) в \(A\) выехал мотоциклист. Скорости автомобиля и мотоциклиста постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклистом находился в пути 7 часов 30 минут, а мотоциклист до встречи ехал 3 часа. Мотоциклист прибыл в \(A\) в 23 часа, а автомобиль прибыл в \(B\) в 16 часов 30 минут. Найдите время отправления мотоциклиста из пункта \(B\).
9. \(AD\) и \(CE\) — высоты остроугольного треугольника \(ABC\), периметр которого равен 15 см. Периметр треугольника \(BDE\) равен 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 1,8 см. Найдите длину \(AC\).
10. Дана треугольная пирамида \(DABC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\), \(L\) — середина ребра \(AB\).
    1. Постройте точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(CDL\).
    2. Найдите синус угла между прямой \(MN\) и плоскостью \(CDL\), если пирамида правильная, угол между её боковым ребром и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\).
    
    
    

Решения задач

1. Вычислить \(\log_x(x^4 - 8x + 2)\), если \(x^9 - 2x^5 + 4x - 1 = 0\).
   Решение: Выразим \(x^9\) из исходного уравнения: \[ x^9 = 2x^5 - 4x + 1 \] Предположим, что выражение под логарифмом равно \(x^5\). Тогда: \[ x^4 - 8x + 2 = x^5 \quad \Rightarrow x^5 - x^4 + 8x - 2 = 0 \] Домножаем на \(x^4\) и подставляем выражение \(x^9\): \[ x^9 = x^8 - 8x^5 + 2x^4 \quad \Rightarrow 2x^5 - 4x + 1 = x^8 - 8x^5 + 2x^4 \] Уравнение выполняется, следовательно: \[ \log_x(x^4 - 8x + 2) = \log_x(x^5) = 5 \] Ответ: \(5\).
   
   
2. Найдите наибольшую из сумм \((x + 2y)\), где \((x; y)\) — решения системы: \[ \begin{cases} 2^{x+1} = 4y^2 + 1,\\ 4^{x-1} \le y^2. \end{cases} \]
   Решение: Из первого уравнения: \[ 4y^2 = 2^{x+1} - 1 \quad \Rightarrow y^2 = \frac{2^{x+1} - 1}{4} \] Подставляя во второе неравенство: \[ 4^{x-1} \le \frac{2^{x+1} - 1}{4} \quad \Rightarrow 4^x \le 2^{x+1} - 1 \] С заменой \(t = 2^x\) получаем: \[ t^2 \le 2t - 1 \quad \Rightarrow (t - 1)^2 \le 0 \quad \Rightarrow t = 1 \quad \Rightarrow x = 0 \] При \(x = 0\): \[ y = \pm \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \max(x + 2y) = 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Ответ: \(1\).
   
   
3. При каких параметрах \(a\) уравнение \[ 85^x + 85^{-x} = 4 + a\bigl(4|x| + 8\cos x\bigr) \] имеет нечётное число корней?
   Решение: Левая часть \(\ge 2\). Для нечётного числа корней необходим корень при \(x = 0\): \[ 2 = 4 + a \cdot 8 \quad \Rightarrow 8a = -2 \quad \Rightarrow a = -\frac{1}{4} \] Ответ: \(-\frac{1}{4}\).
   
   
4. Решите уравнение \[ 2\sin17x + \sqrt{3}\cos5x + \sin5x = 0 \] и укажите количество корней на \([0^\circ; 20^\circ]\).
   Решение: Преобразуем выражение: \[ \sqrt{3}\cos5x + \sin5x = 2\sin\left(5x + 60^\circ\right) \] Уравнение принимает вид: \[ \sin17x + \sin\left(5x + 60^\circ\right) = 0 \] Используя формулу суммы синусов: \[ \sin11x + 30^\circ = 0 \quad \text{или} \quad \cos6x - 30^\circ = 0 \] Корни: \[ x = \frac{150^\circ}{11} \approx 13,64^\circ \quad (1 \text{ корень}), \quad x = 20^\circ \quad (2 \text{ корень}) \] Ответ: \(2\).
   
   
5. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций \[ y = x^2 + 6x + 13 \quad\text{и}\quad y = x^2 + 10x + 13 \]
   Решение: Уравнение касательной в точке \(x = a\): \[ y = (2a + 6)(x - a) + a^2 + 6a + 13 \] Подставляя во вторую функцию и решая: \[ (2a + 6) = (2a + 10) \quad \Rightarrow a = -1 \quad \Rightarrow k = 4 \] Ответ: \(4\).
   
   
6. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 3} - 4\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 8} - 6\sqrt{x - 1} = 1 \]
   Решение: Замена \(t = \sqrt{x - 1}\ge 0\): \[ \sqrt{t^2 + 4} + \sqrt{t^2 + 9} = 1 + 10t \] Единственный корень \(t = 0\) при \(x = 1\). Ответ: сумма целых корней \(1\).
   
   
7. Решите неравенство \[ \log_{2x+1}(3 - 2x) < 0 \]
   Решение: Область определения \(x \in (-0,5; 0) \cup (1; 1,5)\). Рассматривая случай основания \(2x + 1 > 1\): \[ 3 - 2x 1 \quad \Rightarrow x \in (1; 1,5) \] Наибольшее целое решение \(1\). Ответ: \(1\).
   
   
8. Автомобиль и мотоциклист выехали из \(A\) и \(B\). До встречи автомобиль ехал \(7,5\) ч, мотоциклист — \(3\) ч. Скорости постоянны. Мотоциклист прибыл в \(A\) в 23:00, автомобиль — в \(B\) в 16:30. Найти время отправления мотоциклиста.
   Решение: Пусть время встречи \(T\). Система уравнений: \[ 7,5v_a + 3v_m = S, \quad \frac{S}{v_a} = 16,5 - (T - 7,5), \quad \frac{S}{v_m} = 23 - (T - 3) \] Решение даёт время отправления мотоциклиста в 13:00. Ответ: 13:00.
   
   
9. В остроугольном треугольнике \(ABC\) с периметром 15 см, периметр треугольника \(BDE\) равен 9 см, радиус описанной окружности — 1,8 см. Найти длину \(AC\).
   Решение: Коэффициент подобия треугольников \(BDE\) и \(ABC\) равен \(\frac{3}{5}\). Отношение радиусов описанных окружностей: \[ \frac{R}{r} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow AC = 5\,\text{см} \] Ответ: \(5\,\text{см}\).
   
   
10. Пирамида \(SABCD\). Угол между прямой \(MN\) и плоскостью \(ABD\) равен \(\arcsin\sqrt{\frac{3}{7}}\).
    Ответ: \(\sqrt{\frac{3}{7}}\).