«Физтех-лицей» им. П. Л. Капицы из 10 в 11 класс 2025 год.

1. Вычислите: \[ 64\cos\frac{2\pi}{7}\,\cos\frac{4\pi}{7}\,\cos\frac{8\pi}{7}. \]
2. Решите уравнение: \[ 3\cos^2\!\pi x \;-\; 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}-3\pi\bigr) \;+\;3\sin^2\!(\pi x+3\pi)\;=\;1. \]
3. Решите уравнение: \[ \sqrt{6 - 2x - 4x^2}\;-\;\sqrt{4x^2 + 2x - 1}\;=\;1. \]
4. Решите неравенство: \[ 5^{2\sqrt{x}} + 5 < 5^{\sqrt{x+1}} + 5^{\sqrt{x}}. \]
5. Решите неравенство: \[ 3\log(x^2 - 5x + 8)^3\,\bigl(x^2 - 7x + 12\bigr)\;\le\; \log_{\,x^2 - 5x + 8}\!\bigl(3x^2 - 7x + 4\bigr). \]
6. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \sin^2 x \;-\; \Bigl(a + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)\sin x \;+\;\tfrac{a\sqrt{2}}{2} =0 \] имеет на промежутке $\bigl[0;\,\tfrac{4\pi}{3}\bigr]$ ровно три корня?
7. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ биссектриса угла $BAD$ проходит через точку $E$, которая является серединой стороны $CD$.
   1. Докажите, что $\angle ABE = \angle CBE$;
   2. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AB$, если $AB=13$, $AE=12$.
8. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ сторона основания равна $4\sqrt{3}$. Через прямую $AB$ проведено сечение, перпендикулярное ребру $SC$, площадь которого равна 18. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
9. Через сторону $AC$ треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$, образующая угол $45^\circ$ с плоскостью треугольника. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если $AC' = BC$, а угол $C$ треугольника $ABC$ — прямой.
10. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 64\cos\frac{2\pi}{7}\,\cos\frac{4\pi}{7}\,\cos\frac{8\pi}{7}. \] Решение: Воспользуемся формулой для произведения косинусов: \[ \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{8\pi}{7} = \frac{1}{8}. \] Тогда умножение на 64 дает: \[ 64 \cdot \frac{1}{8} = 8. \] Ответ: 8.
2. Решите уравнение: \[ 3\cos^2\!\pi x \;-\; 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}-3\pi\bigr) \;+\;3\sin^2\!(\pi x+3\pi)\;=\;1. \] Решение: Упростим тригонометрические выражения: \[ 3(\cos^2\pi x + \sin^2\pi x) - 2\cos\left(\tfrac{\pi x}{2} - 3\pi\right) = 3 - 2\cos\left(\tfrac{\pi x}{2} - \pi\right). \] По условию уравнение принимает вид: \[ 3 - 2\cos\left(\tfrac{\pi x}{2} - \pi\right) = 1 \implies \cos\left(\tfrac{\pi x}{2} - \pi\right) = 1. \] Решаем уравнение для угла: \[ \tfrac{\pi x}{2} - \pi = 2\pi k \implies x = 4k + 2, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Ответ: \( x = 4k + 2, \; k \in \mathbb{Z} \).
3. Решите уравнение: \[ \sqrt{6 - 2x - 4x^2}\;-\;\sqrt{4x^2 + 2x - 1}\;=\;1. \] Решение: Введем замену \( y = x + \frac{1}{4} \). После преобразований уравнение сводится к системе: \[ \begin{cases} \sqrt{-4y^2 + \frac{25}{4}} - \sqrt{4y^2 - \frac{9}{4}} = 1, \\ -\frac{5}{4} \leq y \leq \frac{5}{4}. \end{cases} \] Проверка корней показывает, что единственное решение \( x = -\frac{1}{2} \). Ответ: \(-\frac{1}{2}\).
4. Решите неравенство: \[ 5^{2\sqrt{x}} + 5 < 5^{\sqrt{x+1}} + 5^{\sqrt{x}}. \] Решение: Пусть \( t = 5^{\sqrt{x}} \). Тогда неравенство принимает вид: \[ t^2 + 5 < t \cdot 5^{\sqrt{(x+1)} - \sqrt{x}}. \] Применяя условия на \( x \), получаем решение: \( x \in [0, 3) \). Ответ: \( x \in [0, 3) \).
5. Решите неравенство: \[ 3\log(x^2 - 5x + 8)^3\,\bigl(x^2 - 7x + 12\bigr)\;\le\; \log_{\,x^2 - 5x + 8}\!\bigl(3x^2 - 7x + 4\bigr). \] Решение: Область определения: \( x^2 - 5x + 8 > 0 \), что верно всегда. После упрощений: \[ \log_{\,x^2 - 5x + 8} (x^2 - 7x + 12) \leq \frac{1}{3}\log_{\,x^2 - 5x + 8}(3x^2 - 7x + 4). \] Решение методами интервалов: \( x \in [1, 3] \cup [4, +\infty) \). Ответ: \( x \in [1, 3] \cup [4, +\infty) \).
6. Определите, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \[ \sin^2 x \;-\; \Bigl(a + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)\sin x \;+\;\tfrac{a\sqrt{2}}{2} =0 \] имеет на промежутке \( \bigl[0;\,\tfrac{4\pi}{3}\bigr] \) ровно три корня. Решение: Квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Анализ корней и промежутка дает решения: \( a \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right) \). Ответ: \( a \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right) \).
7. В трапеции \(ABCD\):
   1. Доказательство равенства углов следует из симметрии и свойств биссектрисы.
   2. Расстояние от точки \( E \) до \( AB \): используя координаты и площади, получаем \( \frac{60}{13} \).
   Ответ: \( \frac{60}{13} \).
8. Длина бокового ребра пирамиды находится через построение сечения и применение теоремы Пифагора: \( SC = 6 \). Ответ: 6.
9. Угол между \(AB\) и плоскостью \( \alpha \) равен \( 30^\circ \) (используя проекции и свойства прямоугольного треугольника). Ответ: \( 30^\circ \).
10. Вероятность вычисляется как отношение благоприятных исходов к общему числу: \[ \frac{19}{27}. \] Ответ: \( \frac{19}{27} \).