Физтех-лицей им. Капицы из 7 в 8 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 7 $\to$ 8 класс)

Математика

2026 год

1. Вычислите / упростите.
   1. Вычислите: \[ \frac{(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)}{3^{16}-1}. \]
   2. Упростите выражение и укажите ОДЗ: \[ \frac{x^{2}-4}{x^{2}-2x}\cdot\frac{x}{x+2}. \]
2. Экстремум.
   Найдите наименьшее значение выражения \[ x^{2}-8x+21 \] и значение \(x\), при котором оно достигается.
3. Уравнение.
   Решите уравнение: \[ x^{4}-5x^{2}+4=0. \]
4. Параметр.
   Рассмотрите уравнение \[ (a-3)(a-5)\,x=-(a-5). \]
   1. При каких значениях \(a\) уравнение не имеет решений?
   2. При каких значениях \(a\) уравнение имеет бесконечно много решений?
   3. При каких значениях \(a\) уравнение имеет единственное решение? Найдите \(x\).
5. График функции.
   Постройте график функции \[ y=\frac{|x-2|}{x+1}. \] Укажите область определения, точки пересечения с осями координат и вертикальную асимптоту (если есть).
6. Текстовая задача (движение, проценты).
   Путь длиной \(60\) км разделён на две равные части. Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью \(v\) км/ч, а вторую — со скоростью на \(50\%\) больше, чем на первой. Известно, что средняя скорость на всём пути равна \(12\) км/ч. Найдите скорости на каждой половине пути и общее время движения.
7. Геометрия (доказательство).
   В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Известно, что \(\angle BAM=\angle MAC\). Докажите, что \(AB=AC\).
8. Геометрия (углы и длины).
   В четырёхугольнике \(ABCD\) выполнено \(AB=BC=CD\) и \(\angle ABC=\angle BCD=120^\circ\).
   1. Докажите, что \(AD\parallel BC\).
   2. Найдите отношение \(AD:BC\).
9. Геометрия (окружность).
   Точка \(O\) равноудалена от точек \(A\), \(B\), \(C\) (то есть \(OA=OB=OC\)). Известно, что \(\angle AOB=110^\circ\) и \(\angle BOC=130^\circ\). Найдите углы треугольника \(ABC\).
10. Теория чисел.
    Найдите наименьшее натуральное число \(n\), которое при делении на \(2,3,4,5,6,7\) даёт остатки \(1,2,3,4,5,6\) соответственно. Найдите также все такие числа \(n\).