Физтех-лицей им. Капицы из 10 в 11 класс 2026 год Вариант Юайти 2

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 2 (переход 10 $\to$ 11 класс)

Математика

2026 год

1. Решите уравнение: \[ \sqrt{1-\sin 2x}=\sqrt{2}+\sin x-\cos x. \]
2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: \[ \log_{x^2+y^2}(2x-y)> 1. \]
3. Решите неравенство: \[ \log_{x-1}\Bigl((\log_2 x-1)(\log_2 x-4)\Bigr)\le 0. \]
4. Смешали $300$ г $60\%$-го раствора вещества и $200$ г воды. Затем в сосуд объёмом $600$ г налили $250$ г воды и добавили $350$ г приготовленной смеси. Найдите процентное содержание вещества в получившемся растворе.
5. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB=12$. Высота призмы равна $3\sqrt{2}$. Пусть $M$ — середина ребра $A_1C_1$.
   1. [а)] Докажите, что сечение призмы плоскостью $BCM$ является прямоугольной трапецией.
   2. [б)] Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCM$.
6. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \sqrt{x-1}=-ax+a+3 \] имеет ровно одно решение.
7. На окружности, описанной около треугольника $ABC$, взята точка $M$. Прямая $MA$ пересекается с прямой $BC$ в точке $L$, а прямая $CM$ — с прямой $AB$ в точке $K$. Известно, что $AL = a$, $BK = b$, $CK = c$. Найдите $BL$.