Физмат лицей Коми 2017 год из 5 в 6 вариант 2

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2017 год

Вариант 2

1. Вычислите: $$ \frac{0,7}{\frac{15}{3,7+\frac{1}{10}: 2}+1} \cdot\left(1 \frac{7}{85}-0,0625 \cdot 6 \frac{2}{17}+0,3\right) $$
2. Решите уравнение : $25:|9-| 7-2||+3=5$
3. Найдите число, отношение которого к числу, равному выражению $12,5 \cdot 2,4-5: 0,2$, равно отношению разности чисел $2,576 \quad 1,156$ к произведению чисел 0,4 7,1.
4. Запишите все целые числа, при которых верно неравенство: $|+3|<3,15$
5. Ученик заменил дробь $\frac{1}{19}$ дробью 0,05 . Определите:
   1. какое из чисел больше;
   2. модуль разности между этими числами;
   3. отношение модуля разности между этими числами к большему из них.
6. В 8 часов утра из поселка вышел пешеход со скоростью 3 км в час. В 11 часов утра из того же поселка по тому же направлению выехал велосипедист. В какое время и на каком расстоянии от поселка велосипедист догнал пешехода, если велосипедист двигался втрое быстрее пешехода?
7. Моторная лодка проплыла 10 км против течения, затратив 1 ч 15 мин, затем 21 км по течению за 1 ч 45 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
8. При пайке алюминия используется сплав цинка, олова и алюминия. Масса алюминия составляет $12 \%$ массы сплава, а массы цинка и олова находятся в отношении $0,5: 2,25$. Сколько процентов массы сплава составляет масса цинка; масса олова?
9. В координатной плоскости постройте четырехугольник АВСЕ по координатам его вершин: А $(-7 ;-3), \mathrm{B}(2 ; 6), \mathrm{C}(5 ;-3), \mathrm{E}(2 ;-6)$. Найдите:
   1. координаты точки пересечения стороны ВС с осью абсцисс;
   2. координаты точки пересечения стороны $\mathrm{AB}$ с осью ординат;
   3. расположение прямой ВЕ по отношению к оси абсцисс;
   4. расположение прямой BE по отношению к оси ординат.
10. В записи числа $\overline{732 a 941 b}$ замените буквы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ цифрами так, чтобы число делилось на 15. Разным буквам соответствуют разные цифры. Укажите все возможные решения. Ответ поясните.
11. Про группу из пяти человек известно, что Алеша на 2 года старше Алексеева, Боря на 1 год старше Борисова, Вася на 4 года старше Васильева, Гриша на 3 года старше Григорьева, а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев. Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев? Ответ поясните.
12. У одного царя-батюшки было 3 дочери и царство прямоугольной формы, одна сторона которого 60 км, а другая - 74 км. Старшая дочь получила в приданое полцарства, средняя - квадратную часть того, что осталось от царства, и периметр этого квадрата был равен 148 км. Младшая дочь получила часть царства площадью в 850 км $^{2} 999965$ м². Какую площадь оставил себе царь-батюшка?
13. На какое натуральное число надо разделить число 180 , чтобы остаток составлял $25 \%$ частного?

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{0,7}{\frac{15}{3,7+\frac{1}{10}: 2}+1} \cdot\left(1 \frac{7}{85}-0,0625 \cdot 6 \frac{2}{17}+0,3\right) $
   Решение:
   Упростим выражение по частям:
   $\frac{1}{10}: 2 = 0,05;\quad 3,7 + 0,05 = 3,75$
   $\frac{15}{3,75} = 4;\quad 4 + 1 = 5;\quad \frac{0,7}{5} = 0,14$
   Преобразуем выражение в скобках:
   $1 \frac{7}{85} = \frac{92}{85};\quad 0,0625 = \frac{1}{16};\quad 6 \frac{2}{17} = \frac{104}{17}$
   $\frac{1}{16} \cdot \frac{104}{17} = \frac{13}{34};\quad \frac{92}{85} - \frac{13}{34} + 0,3 = \frac{184}{170} - \frac{65}{170} + \frac{51}{170} = \frac{170}{170} = 1$
   $0,14 \cdot 1 = 0,14$
   Ответ: 0,14.
2. Решите уравнение : $25:|9-| 7-2||+3=5$
   Решение:
   $25 : |9 - |7 - 2|| + 3 = 5 \implies 25:|9 - 5| + 3 = 5 \implies 25:4 + 3 = 9,25$
   Уравнение не имеет решения, так как $9,25 \neq 5$.
   Ответ: решений нет.
3. Найдите число, отношение которого к числу, равному выражению $12,5 \cdot 2,4-5: 0,2$, равно отношению разности чисел $2,576 \quad 1,156$ к произведению чисел 0,4 7,1.
   Решение:
   Вычислим числитель отношения: $2,576 - 1,156 = 1,42;\quad 0,4 \cdot 7,1 = 2,84;\quad \frac{1,42}{2,84} = 0,5$
   Вычислим знаменатель выражения: $12,5 \cdot 2,4 = 30;\quad 5:0,2=25;\quad 30 - 25 = 5$
   Найдем искомое число: $\frac{x}{5} = 0,5 \implies x = 5 \cdot 0,5 = 2,5$
   Ответ: 2,5.
4. Запишите все целые числа, при которых верно неравенство: $|x+3|<3,15$
   Решение:
   $-3,15 < x +3 < 3,15 \implies -6,15 < x < 0,15$
   Целые числа: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0$
   Ответ: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0$.
5. Ученик заменил дробь $\frac{1}{19}$ дробью 0,05 . Определите:
   1. $\frac{1}{19} \approx 0,05263 \implies \frac{1}{19} > 0,05$
   2. $|\frac{1}{19} - 0,05| = \frac{1}{19} - \frac{1}{20} = \frac{1}{380}$
   3. $\frac{\frac{1}{380}}{\frac{1}{19}} = \frac{1}{20} = 0,05$
   
   Ответы:
   1. $\frac{1}{19}$ больше
   2. модуль разности $\frac{1}{380}$
   3. отношение модуля разности к большему числу $\frac{1}{20}$
6. В 8 часов утра из поселка вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. В 11 часов утра из того же поселка по тому же направлению выехал велосипедист.
   Решение:
   Пешеход до 11:00 прошёл $3 \cdot 3 = 9$ км. Разница скоростей: $9 - 3 = 6$ км/ч. Велосипедист догонит через $\frac{9}{6} = 1,5$ ч в 12:30. Расстояние от посёлка: $9 \cdot 1,5 =13,5$ км.
   Ответ: в 12:30, на расстоянии 13,5 км.
7. Собственная скорость лодки $10$ км/ч, скорость течения реки $2$ км/ч.
   Решение:
   Пусть $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения. Тогда:
   $v - u = \frac{10}{1,25} = 8$ км/ч
   $v + u = \frac{21}{1,75} =12$ км/ч
   Решаем систему: $v =10$ км/ч, $u =2$ км/ч.
   Ответ: скорость лодки 10 км/ч, течение 2 км/ч.
8. Цинк составляет $16\%$, олово — $72\%$ массы сплава.
   Решение:
   Цинк: $\frac{0,5}{2,75} \cdot 88% \approx16\%$, олово: $\frac{2,25}{2,75} \cdot88% \approx72\%$
   Ответ: цинк — 16\%, олово —72\%.
9. Постройте четырехугольник АВСЕ. Ответы:
   1. Точка пересечения ВС с осью OX: $(4;0)$
   2. Точка пересечения АВ с осью OY: $(0;4)$
   3. Прямая ВЕ перпендикулярна оси абсцисс
   4. Прямая ВЕ параллельна оси ординат
10. Возможные значения: $a =8$, $b =5$. Число $\overline{73289415}$.
    Решение:
    Число делится на 5 ($b=5$) и сумму цифр $31+a$ делится на 3 при $a=8$.
    Ответ: $a=8$, $b=5$.
11. Дима старше Дмитриева на 5 лет.
    Ответ: Дима старше на 5 лет.
12. Царь-батюшка оставил себе $35$ м².
    Решение:
    Остаток после раздачи старшей и средней дочери: $4440 - 2220 -1369 =851$ км². Площадь в метрах: $851 -850,999965 =0,000035$ км² $=35$ м².
    Ответ: 35 м².
13. Искомое натуральное число —11.
    Решение:
    Пусть $n=11$, тогда $180 =11 \cdot16 +4$ , где остаток $4 =0,25 \cdot16$.
    Ответ:11.