Физмат лицей Коми 2017 год из 5 в 6 вариант 1

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2017 год

Вариант 1

1. Вычислите: $$ \left(14 \frac{1}{34}-0,775: 1 \frac{1}{16}-13,1\right) \cdot \frac{29}{5+\frac{7}{8,5+\frac{1}{2}: 2}} $$
2. Решите уравнение : $21:|7-| 3-2||+5=7$
3. Отношение суммы чисел 0,$725 ; 1,65$ и 0,75 к разности между числом 3,77 и произведением чисел 10,5 и 0,24 равно отношению числа, равного $0,07: 0,056+5$ к неизвестному числу. Найдите это неизвестное число.
4. Запишите все целые числа, при которых верно неравенство: $$ |+5|<3,75 $$
5. Ученик заменил дробь-дробью $0,1 .$ Определите:
   1. какое из чисел больше;
   2. модуль разности между этими числами;
   3. отношение модуля разности между этими числами к большему из них.
6. Из города в 7 час.утра вышла грузовая машина со скоростью 32 км в час. В 9 час. 30 мин. утра из того же города по тому же направлению вышел автобус, скорость которого в полтора раза больше скорости грузовой машины. В какое время и на каком расстоянии от города автобус догнал грузовую машину?
7. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь вниз по реке за 2 ч, а вверх по реке - за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
8. С трех участков собрали урожай сахарной свеклы. С первого участка собрали $37 \%$ всего урожая, отношение массы свеклы, собранной со второго и третьего участков, соответственно равно $0,5: 1,25$. Сколько процентов всего урожая составила свекла, собранная со второго участка; с третьего участка?
9. В координатной плоскости постройте четырехугольник КВСР по координатам его вершин: К $(-4 ;-1), \mathrm{B}(1 ; 4), \mathrm{C}(8 ;-1), \mathrm{P}(2 ;-7) .$ Найдите:
   1. координаты точки пересечения стороны КВ с осью абсцисс;
   2. координаты точки пересечения стороны КР с осью ординат;
   3. расположение прямой КС по отношению к оси абсцисс;
   4. расположение прямой КС по отношению к оси ординат.
10. В записи числа $\overline{94 a 2731 b}$ замените буквы $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ цифрами так, чтобы число делилось на 15. Разным буквам соответствуют разные цифры. Укажите все возможные решения. Ответ поясните.
11. Про группу из пяти человек известно, что Алеша на 1 год старше Алексеева, Боря на 2 года старше Борисова, Вася на 3 года старше Васильева, Гриша на 4 года старше Григорьева, а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев. Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев? Ответ поясните.
12. У одного царя-батюшки было 3 дочери и царство прямоугольной формы, одна сторона которого 60 км, а другая - 74 км. Старшая дочь получила в приданое полцарства, средняя - квадратную часть того, что осталось от царства, и периметр этого квадрата был равен 148 км. Младшая дочь получила часть царства площадью в 850 км $^{2} 999965$ м $^{2} .$ Какую площадь оставил себе царь-батюшка?
13. На какое натуральное число надо разделить число 180 , чтобы остаток составлял $25 \%$ частного?

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(14 \frac{1}{34}-0,775: 1 \frac{1}{16}-13,1\right) \cdot \frac{29}{5+\frac{7}{8,5+\frac{1}{2}: 2}} $
   Решение:
   1) Преобразуем дроби:
   $14\frac{1}{34} = \frac{14 \cdot 34 + 1}{34} = \frac{477}{34}$;
   $1\frac{1}{16} = \frac{17}{16}$;
   Вычислим $0,775 : \frac{17}{16} = 0,775 \cdot \frac{16}{17} = \frac{12,4}{17} \approx 0,7294$;
   2) $14\frac{1}{34} - 0,7294 \approx \frac{477}{34} - 0,7294 \approx 14,0294 - 0,7294 = 13,3$;
   3) $13,3 - 13,1 = 0,2$;
   4) Решим знаменатель дроби:
   $\frac{1}{2} : 2 = 0,25$;
   $8,5 + 0,25 = 8,75$;
   $5 + \frac{7}{8,75} = 5 + 0,8 = 5,8$;
   5) Вся дробь: $\frac{29}{5,8} = 5$;
   6) Итог: $0,2 \cdot 5 = 1$.
   Ответ: 1.
2. Решите уравнение: $21:|7-| 3-2||+5=7$
   Решение:
   Последовательно раскрываем модули:
   $|3 - 2| = 1$;
   $7 - 1 = 6$;
   Уравнение: $21 : 6 + 5 = 7$;
   $3,5 + 5 = 8,5 \neq 7$
   Уравнение не имеет решений, так как преобразованное равенство неверно.
   Ответ: Нет решений.
3. Отношение суммы чисел 0,725; 1,65 и 0,75 к разности между числом 3,77 и произведением чисел 10,5 и 0,24 равно отношению числа, равного $0,07:0,056+5$ к неизвестному числу. Найдите это неизвестное число.
   Решение:
   1) Сумма: $0,725 + 1,65 + 0,75 = 3,125$;
   2) Разность: $3,77 - (10,5 \cdot 0,24) = 3,77 - 2,52 = 1,25$;
   3) Отношение: $\frac{3,125}{1,25} = 2,5$;
   4) Число: $0,07 : 0,056 = 1,25$; $1,25 + 5 = 6,25$;
   5) По пропорции: $\frac{6,25}{x} = 2,5$ ⟹ $x = \frac{6,25}{2,5} = 2,5$.
   Ответ: 2,5.
4. Запишите все целые числа, при которых верно неравенство: $ |x+5|<3,75 $
   Решение:
   $-3,75 < x +5 < 3,75$ ⟹ $-8,75 < x < -1,25$;
   Целые числа: $-8$, $-7$, $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$.
   Ответ: $-8$, $-7$, $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$.
5. Ученик заменил дробь $0,\overline{1}$ на $0,1$. Определите:
   1. Какое из чисел больше: $0,\overline{1} = \frac{1}{9} \approx 0,111... > 0,1$.
      Ответ: $0,\overline{1} > 0,1$.
   2. Модуль разности: $|\frac{1}{9} - 0,1| = |\frac{1}{9} - \frac{1}{10}| = \frac{1}{90} \approx 0,0111$.
      Ответ: $\frac{1}{90}$.
   3. Отношение разности к большему: $\frac{\frac{1}{90}}{\frac{1}{9}} = \frac{1}{10}$.
      Ответ: $\frac{1}{10}$.
6. Из города в 7 утра вышла грузовая машина со скоростью 32 км/ч. В 9:30 из города вышел автобус со скоростью 32 $\cdot$ 1,5 = 48 км/ч. Найдите время и место встречи.
   Решение:
   К моменту старта автобуса грузовик проехал: 32 км/ч $\cdot$ 2,5 ч = 80 км.
   Пусть время до встречи после старта автобуса: t.
   $80 + 32t = 48t$ ⟹ $16t = 80$ ⟹ t = 5 ч.
   Время встречи: 9:30 + 5 ч = 14:30.
   Расстояние: 48 км/ч $\cdot$ 5 ч = 240 км.
   Ответ: 14:30 на расстоянии 240 км от города.
7. Расстояние 14 км лодка проходит по течению за 2 ч (скорость по течению 7 км/ч) и против течения за 2,8 ч (скорость против течения 5 км/ч).
   Решение:
   Пусть $v$ — скорость лодки, $u$ — течение:
   $\begin{cases} v + u = 7 \\ v - u = 5 \end{cases}$ ⟹ Сложим уравнения: $2v = 12$ ⟹ $v = 6$ км/ч;
   Отсюда $u = 7 - 6 = 1$ км/ч.
   Ответ: Собственная скорость 6 км/ч, течение 1 км/ч.
8. Урожай: первый участок — 37%, остальные 63% в соотношении 0,5:1,25 = 2:5. Тогда второй участок: $\frac{2}{7} \cdot 63% = 18\%$; третий: $\frac{5}{7} \cdot 63% = 45\%$.
   Ответ: Второй — 18%; третий — 45%.
9. По координатам К(-4;-1), В(1;4), С(8;-1), Р(2;-7):
   1. Уравнение КВ: $y = \frac{4 + 1}{1 + 4}(x +4) -1 = x + 3$; пересечение с Ox: y=0 ⟹ x = -3.
      Ответ: (-3, 0).
   2. Уравнение КР: между K(-4;-1) и P(2;-7). Уравнение: $y = -\frac{6}{6}(x +4) -1 = -x -5$; пересечение с Oy (x=0): y = -5.
      Ответ: (0, -5).
   3. Направление прямой KC: точки K(-4;-1) и C(8;-1) лежат на горизонтали y=-1 ⇒ параллельна оси абсцисс.
      Ответ: параллельна.
   4. Не параллельна и не перпендикулярна оси ординат.
      Ответ: пересекает под углом.
10. Число $\overline{94a2731b}$ делится на 15 (на 3 и 5).
    Решение:
    Последняя цифра b = 0 или 5. Сумма цифр: 9+4+a+2+7+3+1+b = 26 + a + b.
    Возможные варианты:
    - b=0: сумма 26+a кратка 3 ⟹ a = 1,4,7.
    - b=5: сумма 31+a кратка 3 ⟹ a = 2,5,8.
    Ответ: Возможные числа: 94127310, 94427310, 94727310, 94227315, 94527315, 94827315.
11. Закономерность: разница между именем и фамилией возрастает на 1 год (Алеша+1, Боря+2, Вася+3, Гриша+4). Следовательно, Дима старше Дмитриева на 5 лет.
    Ответ: Дима старше на 5 лет.
12. Площадь царства: 60 км $\cdot$ 74 км = 4440 км². Старшая: 2220 км². Средняя: квадрат со стороной 37 км (периметр 148 км), площадь 1369 км². Остаток: 4440 - 2220 - 1369 - 850,0009965 = 0,0... км². Царь оставил себе ≈0.
    Ответ: 0 км².
13. Число 180 = nk + 0.25k ⇒ 180 = k(n + 0.25), где n и k натуральные. Возможные k: делители 180 с учетом множителя 0.25. Подходит k=16 ⇒ n=11.125 (не натуральное). Проверить k=80 ⇒ n=2; 80*(2.25)=180 ⟹ n=2.
    Ответ: 2.