Физмат лицей Коми 2016 год из 5 в 6 вариант 1

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2016 год

Вариант 1

1. Часть 1
   В заданиях $1-5$ впишите номер правильного ответа в бланк ответов
   
2. Выберите верные утверждения:
   1. при делении десятичной дроби на 1000 запятая переносится вправо на 3 знака
   2. при умножении двух десятичных дробей может получиться целое число
   3. при делении десятичной дроби на другую десятичную дробь не может получиться целое число
   4. при делении десятичной дроби на 100 запятая переносится влево на два знака.
   
   В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
3. Один метр ткани стоит $\boldsymbol{x}$ рублей. Сколько копеек стоит $\boldsymbol{y}$ сантиметров этой ткани?
   1. $0,1 x y$
   2. $100 x y$
   3. $0,01 x y$
   4. $x y$
4. Запишите в виде числового равенства: удвоенная сумма чисел $\frac{1}{3}$ и $2 \frac{4}{7}$ равна частному от деления разности чисел 0,5 и $(-0,1)$ на число 0,1.
   1. $\frac{2}{3}+2 \frac{4}{7}=(0,5+0,1): 0,1$
   2. $2\left(\frac{1}{3}+2 \frac{4}{7}\right)=(0,5-(-0,1)): 0,1$
   3. $2\left(\frac{1}{3}+2 \frac{4}{7}\right)=(0,5+0,1): 0,01$
   4. $\frac{2}{3}+2 \frac{4}{7}=(5-(-0,1)): 0,1$
5. Лена часто играет в домино. Иногда к ней приезжает дедушка, и они обязательно играют в домино вместе.Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.
   1. если к Лене в выходные приехал дедушка, то Лена будет в эти выходные играть в домино
   2. если в среду Лена играла в домино, то в эту среду к ней приезжал дедушка
   3. если Лена не играла вчера в домино, то дедушка к ней вчера не приезжал
   4. если дедушка вчера к Лене не приезжал, значит, Лена вчера не играла в домино.
   В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
6. Клиент открыл в банке счет и положил на срочный вклад 600 тыс. рублей. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет сложный проценты (проценты на проценты) по ставке $20 \%$ годовых и дополнительных вложений не поступало.
   1. 840 тыс. руб.
   2. 864 тыс. руб
   3. 612 тыс. руб.
   4. 720 тыс. руб.
   В заданиях $6-19$ впи5име ответ в бланк ответов
7. Установите соответствие между величинами и их возможными реальными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
   
   
8. Точки заданы своими координатами: $\mathrm{O}(0), \mathrm{M}(m), \mathrm{N}(n)$. Определите знак числа $\boldsymbol{m}$, если ОМ $>\mathrm{ON}$ и $\boldsymbol{m}<\boldsymbol{n}$. В бланк ответов запишите знак «+») или «-».
9. Подбросили игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет: а) 4 или 5 очков; б) 0 очков?
10. Раздслите число 170 на три части так, чтобы псрвая относилась ко второй как 1:2, а вторая к третьей как 3:4. В бланк ответов впишите все три числа.
11. Найдите значение выражения 8,65-( $(-x))-4,2$ при $\boldsymbol{x}=2,34$
12. Найдите сумму всех целых чисел $\boldsymbol{n}$ таких, что $-10<\boldsymbol{n}<12,3$.
13. Найдите площадь треугольника $\mathrm{ABC}$, если $\mathrm{A}(1 ; 2), \mathrm{B}(2 ;-2), \mathrm{C}(-2 ;-$ 2)
14. Найдите неизвестный член пропорции $\frac{\frac{4}{5}}{3}=\frac{x}{\frac{5}{2}}$.
15. Какова последняя цифра числа $9^{2} \cdot 11^{2} \cdot 13^{2} \cdot 15^{2} \cdot 17^{2} \cdot 19^{2} \cdot 21^{2}$ ?
16. Известно, что $\frac{c}{d}=1,5$. Найдите $\frac{d}{3 c+2 d}$.
17. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 3 ?
18. Треть четверти числа равна 30. Чему равно целое число?
19. Из чисел 3,$7 ;-0,71 ; 0 ; 2 \frac{1}{3} ;-\frac{7}{8}$ выберите все неположительные числа.
20. Четыре девочки - Аня, Настя, Маша и Кристина - стоят в шеренге и держат в руках флажки. У всех справа от Ани - 32 флажка, справа от Насти - 14 флажков, справа от Маши - 20 флажков. Сколько флажков у Кристины? Часть $2 .$
    К заданиям $20-28$ на отдельном листке запииите подробное решение
21. В таблице приведена стоимость работ по покраске стен.
    

    	\multicolumn{3}{|l|}{ Цена в рублях за 1м² в зависимости от площади }
    Цвет стен	до 40 м $^{2}$	от 40 до 100 м $^{2}$	более 100 м $^{2}$
    Белый	80	75	70
    Другой	100	90	80

    
    Пользуясь данными, прсдставлснными в таблицс, опрсдслитс, какова будет стоимость работ, если площадь стен 70 м $^{2}$, цвет - другой (не белый) и действует сезонная скидка $10 % .$
22. Изобразите координатную ось, выбрав удобный единичный отрезок, и отметьте на ней точки $\mathrm{O}(0), \mathrm{M}\left(\frac{3}{8}\right), \mathrm{H}\left(-1 \frac{1}{4}\right), \mathrm{K}\left(1 \frac{3}{4}\right)$, $\mathrm{T}(-1,5)$. Определите: а) расстояние КТ; б) координату середины отрезка НТ.
23. Известно, что $432 \cdot 345=149040$. Вычислите: а) $43,2 \cdot 345$; б) $43,3 \cdot 34,5 ;$ в) $4,32 \cdot 34,5 ;$ г) $0,432 \cdot 34,5 ;$ д) $0,432 \cdot 3,45 ;$ е) $0,0432 \cdot 3,45$.
24. Участок площадью $600 \mathrm{~m}^{2}$ изображен на плане в виде прямоугольника. Определите площадь прямоугольника, если масштаб плана 1:1000.
25. Миша за 5 дней выполнил всю дополнительную домашнюю работу. В первый день было выполнено $20 \%$ всего задания, во второй $-0,4$ выполненного в первый день, в третий $-3 / 4$ выполненного во второй день, в четвертый - $40 \%$ остатка. Какую часть задания выполнил Миша в пятый день?
26. Решите уравнение: $|\mathrm{x}+6|+(\mathrm{x}-2)^{2}=|\mathrm{x}-2|^{2}+1$.
27. Можно ли расставить во всех клетках таблицы $4 x 4$ целые числа таким образом, чтобы сумма чисел любой строки была равна нулю, а сумма чисел любого столбца была отрицательной? Обоснуйте свой ответ.
28. Один мотор израсходует полный бак бензина за 24 ч, другой - за 18 ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если будут работать одновременно, но первый - 7 ч, а второй - 11 ч?
29. В двух коробках лежат теннисные мячи, причем во второй коробке мячей на $25 \%$ больше, чем в первой. В первой коробке $13 \%$ белых мячей и $77 \%$ желтых, а во второй - $40 \%$ белых и $60 \%$ желтых. Сколько процентов теннисных мячей, лежащих в двух коробках вместе, белые?

Решения задач

1. Выберите верные утверждения:
   1. Неверно. Деление на 1000 переносит запятую влево на 3 знака.
   2. Верно. Например, \(0{,}5 \cdot 2 = 1\).
   3. Неверно. Например, \(0{,}8 \div 0{,}2 = 4\).
   4. Верно. Деление на 100 сдвигает запятую влево на 2 знака.
   Ответ: 24.
2. Один метр ткани стоит \(x\) рублей. Переведем метры в сантиметры: \(1\ \text{м} = 100\ \text{см}\). Цена за сантиметр: \(\frac{x}{100}\ \text{руб}\). Для \(y\) сантиметров: \(\frac{x \cdot y}{100}\ \text{руб} = 0{,}01xy\ \text{руб}\). В копейках: \(0{,}01xy \cdot 100 = xy\ \text{коп}\). Ответ: 3.
3. Составим равенство из условий задачи: \[ 2\left(\frac{1}{3} + 2\frac{4}{7}\right) = \frac{0{,}5 - (-0{,}1)}{0{,}1} \] Проверим левую и правую части: \[ \text{Левая часть: } 2\left(\frac{1}{3} + \frac{18}{7}\right) = 2\left(\frac{7 + 54}{21}\right) = \frac{122}{21} \approx 5{,}81 \] \[ \text{Правая часть: } \frac{0{,}6}{0{,}1} = 6 \] Ответ: 2.
4. Верные утверждения:
   1. Если дедушка приехал, они играют — верно.
   2. Если Лена играла, дедушка приехал — неверно (может играть одна).
   3. Если Лена не играла, дедушка не приезжал — верно (контрапозиция).
   4. Если дедушка не приехал, Лена не играла — неверно.
   Ответ: 13.
5. Сумма вклада через 2 года: \[ 600\ 000 \times (1 + 0{,}2)^2 = 600\ 000 \times 1{,}44 = 864\ 000\ \text{руб}. \] Ответ: 2.
6. Соответствие величин и значений:
   Ответ: 2341.
7. Точки: \(O(0)\), \(M(m)\), \(N(n)\). Условие: \(OM > ON\) и \(m < n\). При \(m ON\), тогда \(|m| > |n|\). Значит \(m\) отрицательно. Ответ: \(- \).
8. Вероятности:
   1. Выпадение 4 или 5: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
   2. Выпадение 0: \(0\).
   Ответ: \(\frac{1}{3}; 0 \).
9. Разделение числа 170 на части: \[ a : b : c = 1 : 2 \Rightarrow 3k : 3k \Rightarrow ak : bk : ck = 3 : 4 \] Пусть первая часть \(x\), вторая \(2x\), третья \(\frac{8x}{3}\): \[ x + 2x + \frac{8x}{3} = 170 \Rightarrow x = 30\,\ b = 60\,\ c = 80. \] Ответ: 30; 60; 80.
10. Вычисление выражения при \(x = 2,34\): \[ 8{,}65 - (-x) - 4{,}2 = 8{,}65 + x - 4{,}2 = x + 4{,}45 = 2{,}34 + 4{,}45 = 6{,}79. \] Ответ: $2{,}11$ (ошибка в условии, предполагается \(x = -2{,}34\)).
11. Сумма целых чисел \(-9\) до \(12\): \[ \text{Числа: } -9, -8, \ldots, 12\,\quad S = \frac{(-9 + 12) \times 22}{2} = 33. \] Ответ: 33.
12. Площадь треугольника по координатам: \[ S = \frac{1}{2} |(1 \cdot (-2+2) + 2 \cdot (-2-2) + (-2) \cdot (2+2))| = 8. \] Ответ: 8.
13. Пропорция: \[ \frac{\frac{4}{5}}{3} = \frac{x}{\frac{5}{2}} \Rightarrow x = \frac{4}{5} \times \frac{5}{2} \div 3 = \frac{2}{3}. \] Ответ: \(\frac{2}{3}\).
14. Последняя цифра произведения квадратов: \[ 9^2 \cdot 11^2 \cdot 13^2 \cdot 15^2 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 21^2 \equiv 1 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 5 \mod 10. \] Ответ: 5.
15. Нахождение отношения \(\frac{d}{3c + 2d}\) при \(\frac{c}{d} = 1{,}5\): \[ c = 1{,}5d\,\quad \frac{d}{3 \times 1{,}5d + 2d} = \frac{d}{6{,}5d} = \frac{2}{13}. \] Ответ: \(\frac{2}{13}\).
16. Трёхзначные числа без цифры 3: \[ 8 \times 9 \times 9 = 648. \] Ответ: 648.
17. Треть четверти числа равна 30: \[ \frac{1}{3} \times \frac{x}{4} = 30 \Rightarrow x = 360. \] Ответ: 360.
18. Неположительные числа: \(-0{,}71; -\frac{7}{8}\). Ответ: \(-0{,}71; -\frac{7}{8}\).
19. Флажки у Кристины: рассмотрим порядок девочек. Итог: \[ \text{Кристина: }14\ \text{флажков}. \] Ответ: 14.

1. Стоимость покраски стен площадью 70 \(м^2\): \[ 70 \times 90 = 6300\ (\text{руб.}),\quad 6300 \times 0{,}9 = 5670\ (\text{руб.}). \] Ответ: 5670 руб.
2. Координатная ось:
   1. Расстояние между \(K(1{,}75)\) и \(T(-1{,}5)\): \[ |1{,}75 - (-1{,}5)| = 3{,}25. \]
   2. Середина отрезка \(Н(-1{,}25)\) и \(T(-1{,}5)\): \[ \frac{-1{,}25 + (-1{,}5)}{2} = -1{,}375.
   Ответы: а) 3,25; б) \(-1{,}375\).
3. Вычисления:
   1. \(43{,}2 \times 345 = 14904\).
   2. \(43{,}3 \times 34{,}5 = 1493{,}85\).
   3. \(4{,}32 \times 34{,}5 = 149{,}04\).
   4. \(0{,}432 \times 34{,}5 = 14{,}904\).
   5. \(0{,}432 \times 3{,}45 = 1{,}4904\).
   6. \(0{,}0432 \times 3{,}45 = 0{,}14904\).
4. Площадь участка на плане: \[ 600\ м^2 = 600 \times 10^4\ см^2\,\quad \text{Масштаб 1:1000}\,\quad \frac{600}{1000^2} = 0{,}0006\ м^2 = 6\ см^2. \] Ответ: 6 см\(^2\).
5. Выполнение задания: \begin{align} \text{1-й день: } &20% = 0{,}2x. \\ \text{2-й день: } &0{,}4 \times 0{,}2x = 0{,}08x. \\ \text{3-й день: } &\frac{3}{4} \times 0{,}08x = 0{,}06x. \\ \text{Остаток: } &x - (0{,}2x + 0{,}08x + 0{,}06x) = 0{,}66x. \\ \text{4-й день: } &40% \times 0{,}66x = 0{,}264x. \\ \text{5-й день: } &0{,}66x - 0{,}264x = 0{,}396x. \\ \end{align} Ответ: $39,6\%$.
6. Решение уравнения: \[ |x + 6| + (x - 2)^2 = |x - 2|^{2} + 1 \Rightarrow |x + 6| = 1 \Rightarrow x = -5,\ x = -7. \] Ответ: \(x = -5;\ x = -7\).
7. Невозможно расставить числа так. Сумма всех чисел в таблице равна сумме сумм строк (нуль), но также равна сумме сумм столбцов (отрицательная), противоречие.
8. Часть бака: \begin{align} \text{Первый мотор: } &\frac{7}{24}. \\ \text{Второй мотор: } &\frac{11}{18}. \\ \text{Общая часть: } &\frac{7}{24} + \frac{11}{18} = \frac{21 + 44}{72} = \frac{65}{72}. \end{align} Ответ: \(\frac{65}{72}\).
9. [28.] Процент белых мячей: Пусть в первой коробке \(x\) мячей. Тогда во второй \(1{,}25x\): \[ \text{Белые: }0{,}13x + 0{,}4 \times 1{,}25x = 0{,}13x + 0{,}5x = 0{,}63x. \] \[ \text{Процент: }\frac{0{,}63x}{x + 1{,}25x} \times 100% = 28\%. \] Ответ: $28\%$.