Физмат лицей Коми 2014 год из 7 в 8 вариант 2

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2014 год

Вариант 2

1. Найдите значение выражения: $\frac{1}{3} \cdot 0,375-\left(\frac{4}{7}-\frac{6}{11}\right) \cdot 4 \frac{13}{16}$.
2. Найдите значение выражения $(3 b-4)(4 b+3)-4 b(3 b+4)$ при $b=6,3$.
3. Найти значение выражения $y^{6} \cdot y^{3}:\left(x^{2}\right)^{4}$. В ответе укажите показатель полученной степени.
4. Решите уравнение: $1-5 x=-6 x+8$.
5. На координатной прямой отмечены числа $b$ и $c$.
   
   Какое из следующих чисел наименьшее?
   1. $b+c$;
   2. $2 c$;
   3. $-b$
   4. $b c$
6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Графики функции
   
   1. $y=-3$
   2. $y=x-3$
   3. $y=-3 x$;
   4. $y=3 x$.
7. Стоимость проезда в электричке составляет 100 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50\%. Сколько рублей будет стоить проезд для 8 взрослых и 24 школьников?
8. Средняя норма потребляемой воды в классе, в котором учится Игорь, среди мальчиков составляет 2,5 л. Игорь выпивает в день 2,3 л воды. Какое из следующих утверждений верно?
   1. Обязательно найдется мальчик, который выпивает 2,6 л в день.
   2. Все мальчики, кроме Игоря, выпивают в день по 2,5 л воды.
   3. Обязательно найдется мальчик в классе, который пьет больше, чем 2,5 л в день.
   4. Обязательно найдется мальчик в классе, который выпивает ровно 2,5 л в день.
9. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты местности над уровнем моря (в километрах). На сколько миллиметров ртутного столба атмосферное давление на высоте Эвереста ниже атмосферного давления на высоте Большого Шелома?
   
10. Для квартиры площадью 130 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.
    

    Цвет потолка	\multicolumn{4}{|c|}{ Цена (в руб.) за 1 кв. м (в зависимости от площади помещения) }
    	до 10 кв. м	от 11 до 30 кв. м	от 31 до 60 кв. м	свыше 60кв. м
    Белый	1400	1150	900	600
    Цветной	1550	1300	1050	750

    
    Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в $10 % ?$
    
    Часть II
    Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов №2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
11. Решите уравнение:
    1. $\frac{5 x+6}{8}-\left(\frac{2 x-1}{3}-\left(\frac{2-7 x}{12}+\frac{5 x+8}{6}\right)\right)=4 x-5$
    2. $x^{3}+3 x^{2}-4 x-12=0$.
12. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,3 км от места отправления. Один идёт со скоростью 3,2 км/ч, а другой - со скоростью 3,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
13. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых $2 x-y-3=0$ и $x+y=3, \quad$ и параллельной графику уравнения $4(y-1)+x=2(x+y)+4 .$ Постройте график полученного уравнения.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $\frac{1}{3} \cdot 0,375-\left(\frac{4}{7}-\frac{6}{11}\right) \cdot 4 \frac{13}{16}$.
   Решение: \[ \frac{1}{3} \cdot 0,375 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{8} = 0,125 \] \[ \left(\frac{4}{7} - \frac{6}{11}\right) = \frac{44 - 42}{77} = \frac{2}{77} \] \[ 4\frac{13}{16} = \frac{77}{16} \] \[ \frac{2}{77} \cdot \frac{77}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0,125 \] \[ 0,125 - 0,125 = 0 \] Ответ: 0.
   
   
2. Найдите значение выражения $(3 b-4)(4 b+3)-4 b(3 b+4)$ при $b=6,3$.
   Решение: \[ (3b - 4)(4b + 3) - 4b(3b + 4) = 12b^2 + 9b - 16b - 12 - 12b^2 - 16b = -23b - 12 \] \[ b = 6,3: \quad -23 \cdot 6,3 - 12 = -144,9 - 12 = -156,9 \] Ответ: $-156,9$.
   
   
3. Найти значение выражения $y^{6} \cdot y^{3}:\left(x^{2}\right)^{4}$. В ответе укажите показатель полученной степени.
   Решение: \[ y^6 \cdot y^3 : (x^2)^4 = y^{6+3} : x^{8} = y^9 : x^8 \] Ответ: 9.
   
   
4. Решите уравнение: $1-5 x=-6 x+8$.
   Решение: \[ 1 - 5x = -6x + 8 \implies x = 7 \] Проверка: \[ 1 - 5 \cdot 7 = -34, \quad -6 \cdot 7 + 8 = -34 \quad \text{верно} \] Ответ: 7.
   
   
5. На координатной прямой отмечены числа $b$ и $c$. Какое из следующих чисел наименьшее?
   Решение: По рисунку $b < -c < 0 < c < -b$. Наименьшим будет произведение $b \cdot c$ (отрицательное).
   Ответ: $\boxed{\text{d}}$.
   
   
6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
   Решение:
   • График А: горизонтальная прямая — $y=-3$.
   • График Б: прямая с угловым коэффициентом 1 — $y=x-3$.
   • График В: прямая через начало координат с угловым коэффициентом $-3$ — $y=-3x$.
   Ответ: А-1, Б-2, В-3.
   
   
7. Стоимость проезда для 8 взрослых и 24 школьников.
   Решение: \[ 8 \cdot 100 + 24 \cdot 50 = 800 + 1200 = 2000 \, \text{руб.} \] Ответ: 2000.
   
   
8. Верное утверждение о среднем потреблении воды.
   Решение: Игорь пьёт меньше среднего, значит есть хотя бы один мальчик, который пьёт больше среднего.
   Ответ: $\boxed{\text{c}}$.
   
   
9. Разность атмосферного давления на Эвересте и Большом Шеломе.
   Решение: По графику: Эверест (~8,8 км) — 250 мм рт. ст., Большой Шелома (~4,5 км) — 420 мм рт. ст. \[ 420 - 250 = 170 \] Ответ: 170.
   
   
10. Стоимость натяжного потолка площадью 130 кв. м со скидкой 10\%.
    Решение: \[ 130 \cdot 600 \cdot 0,9 = 130 \cdot 540 = 70200 \, \text{руб.} \] Ответ: 70200.
    
    
11. Решите уравнения:
    1. $\frac{5 x+6}{8}-\left(\frac{2 x-1}{3}-\left(\frac{2-7 x}{12}+\frac{5 x+8}{6}\right)\right)=4 x-5$
       Решение: \[ \frac{2-7x}{12} + \frac{5x+8}{6} = \frac{(2-7x) + 2(5x+8)}{12} = \frac{3x + 18}{12} = \frac{x+6}{4} \] \[ \frac{2x-1}{3} - \frac{x+6}{4} = \frac{8x-4 - 3x-18}{12} = \frac{5x -22}{12} \] \[ \frac{5x+6}{8} - \frac{5x -22}{12} = 4x -5 \] \[ \frac{15x +18 -10x +44}{24} = 4x -5 \implies \frac{5x +62}{24} =4x -5 \] \[ 5x +62 =96x -120 \implies 182=91x \implies x=2 \] Ответ: 2.
       
       
    2. $x^{3}+3 x^{2}-4 x-12=0$
       Решение: \[ x^3 +3x^2 -4x -12 = (x^3 +3x^2) - (4x +12) = x^2(x+3) -4(x+3) = (x+3)(x^2-4) \] \[ x=-3, \quad x=2, \quad x=-2 \] Ответ: $-3; -2; 2$.
    
    
    
12. Расстояние встречи пешеходов от точки отправления.
    Решение: Пусть время до встречи — $t$ часов. \[ 3,2t =3,3 -3,4(t -3,3/3,4) \] \[ 3,2t =3,3 -3,4t +3,3 \implies 6,6t =6,6 \implies t=1 \, \text{час} \] Расстояние: \[ 3,2 \cdot1 =3,2 \, \text{км} \] Ответ: 3,2 км.
    
    
13. Уравнение прямой через точку пересечения и параллельной заданной.
    Решение: Точка пересечения прямых $(2;1)$. Угловой коэффициент: \[ 4(y-1)+x=2(x+y)+4 \implies y=0,5x +4 \implies k=0,5 \] Уравнение прямой через $(2;1)$: \[ y -1=0,5(x -2) \implies y=0,5x \] Ответ: $y = \frac{1}{2}x$.