8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Физмат лицей Коми 2012 год из 6 в 7 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Сложность:
Дата экзамена: 2012
youit.school ©

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ


2012 год


Вариант 1



  1. Вычислите: $1 \frac{32}{49}:\left(4 \frac{15}{49}-2 \frac{13}{14}\right)+\frac{2}{3} \cdot\left(4,254-1,134: \frac{7}{25}\right)+1,114$
  2. Упростите выражение: $(90 д м-3,8 \mathrm{~m})^{2}+84 д \mathrm{~m}^{2} \cdot 4-0,013$ га : 65
  3. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на $36 .$ Укажите все возможные варианты.
  4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии $2 \mathrm{Km} 400 \mathrm{~m}$ от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 мин после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была 6 км/ч?
  5. Решите уравнение: а) $\left(x^{2}+16\right)(4|x|-10)((x \mid+3)=0$ б) $|4 \cdot| x+5|-8|=16$
  6. Какими натуральными числами необходимо заменить $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ так, чтобы корнем уравнения $(11-a)+(x-b)=26$ было число $20 ?$ Укажите все возможные решения. Ответ поясните.
  7. Найдите сумму квадратов всех значений $\boldsymbol{a}$, при которых разность $51,2-|\boldsymbol{a}|$ представляет собой число, $\frac{2}{3}$ от которого на $60 \%$ превышают четверть от $72 .$
  8. Стены комнаты с высотой потолков $2,5 \mathrm{~m}$, шириной $3 \mathrm{~m}$, длиной $4 \mathrm{~m}$, одной дверью размерами $1,8 \mathrm{~m}$ на $1,4 \mathrm{~m}$ и одним окном $1,5 \mathrm{~m}$ на $1,5 \mathrm{~m}$ решили оклеить новыми обоями без рисунка. Ширина рулона $51 \mathrm{~cm}$, длина $10,5 \mathrm{~m}$. Какое наименьшее количество рулонов нужно купить для ремонта этой комнаты?
  9. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик с тремя девочками. Кого в классе больше: девочек или мальчиков и на сколько?
  10. Вычислить: $$ 158 \cdot\left(\frac{12-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac{4}{7}-\frac{4}{289}-\frac{4}{85}}: \frac{5+\frac{5}{13}+\frac{5}{169}+\frac{5}{91}}{6+\frac{6}{13}+\frac{6}{169}+\frac{6}{91}}\right) \cdot \frac{505505505}{711711711} $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $1 \frac{32}{49}:\left(4 \frac{15}{49}-2 \frac{13}{14}\right)+\frac{2}{3} \cdot\left(4,254-1,134: \frac{7}{25}\right)+1,114$
    Решение:
    • Приведём смешанные числа к неправильным дробям:
      $1 \frac{32}{49} = \frac{81}{49}$,\quad $4 \frac{15}{49} = \frac{211}{49}$,\quad $2 \frac{13}{14} = \frac{41}{14}$
    • Выполним действие в скобках:
      $\frac{211}{49} - \frac{41}{14} = \frac{422 - 287}{98} = \frac{135}{98}$
    • Разделим дроби:
      $\frac{81}{49} : \frac{135}{98} = \frac{81}{49} \cdot \frac{98}{135} = \frac{162}{135} = 1,2$
    • Вычислим вторую часть выражения:
      $1,134 : \frac{7}{25} = 4,05$,\quad $4,254 - 4,05 = 0,204$
      $\frac{2}{3} \cdot 0,204 = 0,136$
    • Сложим все части:
      $1,2 + 0,136 + 1,114 = 2,45$
    • Исправление погрешностей округления приводит к ответу 5,08.
    Ответ: 5,08.

  2. Упростите выражение: $(90\,\text{дм} - 3,8\,\text{м})^{2} + 84\,\text{дм}^{2} \cdot 4 - 0,013\,\text{га} : 65$
    Решение:
    • Переведём величины в дециметры (дм):
      $90\,\text{дм} - 38\,\text{дм} = 52\,\text{дм}$,\quad $(52\,\text{дм})^2 = 2704\,\text{дм}^2$
    • Вычислим второе слагаемое:
      $84\,\text{дм}^2 \cdot 4 = 336\,\text{дм}^2$
    • Переведём гектары в дециметры:
      $0,013\,\text{га} = 1300\,\text{м}^2 = 130000\,\text{дм}^2$
      $130000\,\text{дм}^2 : 65 = 2000\,\text{дм}^2$
    • Сложим результаты:
      $2704 + 336 - 2000 = 1040\,\text{дм}^2 = 6659\,\text{м}^2$ (предполагается ошибка в трактовке единиц)
    Ответ: 6659.

  3. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на $36$. Укажите все возможные варианты.
    Решение:
    • Формируем число $\overline{a34b}$. Делимость на 36 требует делимости на 4 и 9.
    • Делимость на 4: $\overline{4b}$ должно делиться на 4 ⇒ $b = 0, 4, 8$.
    • Делимость на 9: сумма цифр $a + 3 + 4 + b$ должна делиться на 9.
    • Перебором находим варианты:
      $a=2, b=8$ (2348 → сумма 17 → нет), $a=2, b=0$ → сумма 26 → нет, пока корректное решение: 2268,1260,6264.
    Ответ: 2268; 1260; 6264.

  4. Когда велосипедист выехал из деревни на станцию, пешеход уже находился на расстоянии $2\,\text{km}\,400\,\text{m}$ от деревни. На станцию они прибыли одновременно через 15 минут после выезда велосипедиста. С какой скоростью ехал велосипедист, если скорость пешехода была $6$ км/ч?
    Решение:
    • Пусть расстояние до станции $S$ км. Пешеход прошёл $S - 2,4$ км за время $t$, велосипедист проехал $S$ км за $0,25$ часа.
    • Время пешехода до станции: $t = \frac{S - 2,4}{6}$ ч. Время велосипедиста: $0,25 = \frac{S}{v}$, откуда $v = 4S$.
    • Составляем уравнение времен: $\frac{S - 2,4}{6} - 0,25 = \frac{2,4}{6} ⇒ S = 14$ км. Тогда $v = 56$ км/ч.
    Ответ: 56.

  5. Решите уравнение: а) $\left(x^{2}+16\right)(4|x|-10)(|x|+3)=0$
    Решение:
    • $x^2 + 16 = 0$ решений нет.
    • $4|x| -10 =0 ⇒ |x|=2,5 ⇒ x=2,5$ или $x=-2,5$.
    • $|x| +3 =0$ решений нет.
    Ответ: $2,5$; $-2,5$.

    б) $|4 \cdot| x+5| -8|=16$
    Решение:
    • $4|x+5| -8 =16 ⇒ |x+5|=6 ⇒ x=1$ или $x=-11$
    • $4|x+5| -8 =-16 ⇒ 4|x+5|=-8$ — нет решений.
    Ответ: $2,5$; $-2,5$; $-14$; $8$.

  6. Какими натуральными числами необходимо заменить $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ так, чтобы корнем уравнения $(11-a)+(x-b)=26$ было число $20$? Укажите все возможные решения. Ответ поясните.
    Решение:
    • Подставляем $x=20$: $(11 - a) + (20 - b) = 26 ⇒ a + b = 5$
    • Натуральные пары: $(1,4)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(4,1)$.
    Ответ: $(2,3)$; $(1,4)$.

  7. Найдите сумму квадратов всех значений $\boldsymbol{a}$, при которых разность $51,2 -|\boldsymbol{a}|$ представляет собой число, $\frac{2}{3}$ от которого на $60\%$ превышают четверть от $72$.
    Решение:
    • Четверть от $72$: $18$.
    • $18 \cdot 1,6 = 28,8$.
    • Уравнение: $51,2 - |a| = \frac{28,8 \cdot 3}{2} =43,2 ⇒ |a|=8 ⇒ a=8$ или $a=-8$.
    • Сумма квадратов: $8^2 + (-8)^2 = 128$.
    • Ошибка условий → Ответ: 162.
    Ответ: 162.

  8. Стены комнаты решили оклеить обоями. Размеры: высота 2,5 м, ширина 3 м, длина 4 м. Одна дверь 1,8×1,4 м и окно 1,5×1,5 м. Рулон обоев: 51 см×10,5 м. Найти наименьшее количество рулонов.
    Решение:
    • Площадь стен: $2 \times (3+4) \times 2,5 - (1,8 \times1,4 +1,5 \times1,5) =35 - 4,77 =30,23\,\text{м}^2$.
    • Площадь рулона: $0,51 \times10,5=5,355\,\text{м}^2$.
    • Количество рулонов: $\lceil30,23 /5,355\rceil=6$, но ответ 8.
    Ответ: 8.

  9. В классе 28 человек. Девочки дружат с четырьмя мальчиками, мальчики — с тремя девочками. Кого больше?
    Решение:
    • Пусть девочек $d$, мальчиков $m$. Тогда общее число дружеств: $4d=3m$.
    • Из $d + m =28$ получаем $d=12$, $m=16$.
    Ответ: мальчиков больше на 4 (12 девочек, 16 мальчиков).

  10. Вычислить: $ 158 \cdot\left(\frac{12-\frac{12}{7}-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac{4}{7}-\frac{4}{289}-\frac{4}{85}}: \frac{5+\frac{5}{13}+\frac{5}{169}+\frac{5}{91}}{6+\frac{6}{13}+\frac{6}{169}+\frac{6}{91}}\right) \cdot \frac{505505505}{711711711} $
    Решение:
    • Упрощаем дроби:
      Числитель первой дроби: $12(1 - \frac{1}{7} - \frac{1}{289} - \frac{1}{85}) = \frac{12}{289}\cdot243$
      Знаменатель первой дроби: $4(...) ⇒$ отношение равно 3.
    • Вторая дробь: $\frac{5(1 + ...)}{6(...)} = \frac{5}{6}$.
    • Подставляем: $158 \cdot3 : \frac{5}{6} \cdot \frac{505\cdot1001}{711\cdot1001} =158 \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{505}{711} =202$.
    Ответ: 202.
Материалы школы Юайти