8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Физмат лицей Коми 2011 год из 7 в 8 вариант 2-2

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ


2011 год


Вариант 2

В заданиях А 1-А8 укажите букву, соответствующую выбранному вами ответу.

  1. Точки $C, D$ и $E$ лежат на одной прямой, причем длина отрезка $D E$ в 2 раза меньше длины отрезка $C D$, а длина $C D$ больше длины $C E$ на 4,8 см. Найдите длину отрезка $D E$.
    1. $2,4 \mathrm{~cm}$;
    2. $4,8 \mathrm{~cm}$
    3. $9,6 \mathrm{~cm}$;
    4. $3,2 \mathrm{~cm}$
  2. Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$, причем сумма углов $B E C$ и $A E D$ равна $194^{\circ}$. Найдите угол $A E C$.
    1. $97^{\circ}$;
    2. $83^{\circ}$
    3. $117^{\circ}$
    4. $73^{\circ} .$
  3. $O H$ и $O N-$ высоты углов треугольников $M O K$ и $E O F$, причем $O H=O N .$ Найдите длину отрезка $M K$, если $E N=7,8 \mathrm{~cm}$, $O E=8,6 \mathrm{~cm}$ и $H M=6,3 \mathrm{~cm} .$
    1. $13,9 \mathrm{~cm}$;
    2. $14,1 \mathrm{~cm}$;
    3. $14,9 \mathrm{~cm}$;
    4. $16,4 \mathrm{~cm}$.

  4. В треугольнике $C D E$ проведена медиана $C A$, причем $C A=A E$ и $\angle E=69^{\circ} .$ Найдите угол $D A C .$
    1. $146^{\circ}$;
    2. $138^{\circ}$
    3. $126^{\circ}$
    4. $124^{\circ}$
  5. Разность между двумя внутренними односторонними углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$ равна $46^{\circ} .$ Найдите больший из этих углов.
    1. $126^{\circ}$
    2. $123^{\circ}$
    3. $113^{\circ}$
    4. $136^{\circ}$
  6. В треугольнике $C D E$ угол $D$ в 2,5 раза больше угла $C$, а угол $E$ на $24^{\circ}$ меньше угла $D$. Найдите угол $E$.
    1. $73^{\circ}$
    2. $74^{\circ}$
    3. $61^{\circ}$
    4. $68^{\circ}$
  7. Какие из перечисленных высказываний верные?
    1) Если одна высота треугольника делит противоположную сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный.
    2) Если треугольник равносторонний, то сумма длин его высот равна сумме длин его медиан.
    3) Если треугольник равнобедренный, то любая его биссектриса является и медианой.
    4) Если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то он является равносторонним.
    1. $1 ; 2 ;$
    2. $1 ; 2 ; 4 ;$
    3. $2 ; 3 ; 4 ;$
    4. $3 ; 4 .$
  8. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см, а одна из его сторон на 5 см меньше другой. Найдите сумму боковых сторон этого треугольника.
    1. $11 \frac{1}{3} \mathrm{~cm}$
    2. $18 \mathrm{~cm}$
    3. $18 \mathrm{~cm}$ или $11 \frac{1}{3} \mathrm{~cm}$;
    4. $17 \mathrm{~cm}$

    В заданиях В1-B6 дайте краткий ответ, записанный числом с единицей измерения.
  9. Углы $B O D$ и $C O D-$ смежные. $O E-$ биссектриса угла $B O D$, причем угол $C O D$ на $21^{\circ}$ больше угла $D O E$. Найдите угол $B O E$.
  10. Сколько всего равнобедренных треугольников можно заметить на рисунке?
  11. В равнобедренном треугольнике $E F H \angle F=118^{\circ} . E O-$ высота этого треугольника. Найдите угол $O E H$.
  12. Дано: $A C\|B D, C K\| D M, \angle A C K=48^{\circ}$, $\angle C D K$ в 3 раза больше $\angle E D M$. Найти: $\angle K D E$.
  13. В треугольнике $A B C$ медиана $A D$ вдвое меньше стороны $B C$. Найдите угол $A$ треугольника $A B C$.
  14. Один из внешних углов треугольника в 4 раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен $60^{\circ} .$
    В заданиях С1-С2 приведите полное решение.
  15. На рисунке $A B=B C, A F=K C, \angle D K A=\angle E F C$. Докажите, что $A D=E C$.
  16. В треугольнике $C D E \angle C=39^{\circ}, \angle E=57^{\circ}$. Через вершину $D$ проведена прямая $A B \| C E$. Найдите угол $A D K$, где $D K$ - биссектриса угла $C D E$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Точки $C, D, E$ лежат на одной прямой. По условию:
    • $DE = \frac{1}{2}CD$, пусть $DE = x$, тогда $CD = 2x$.
    • $CD - CE = 4,8$ см.
    Рассмотрим расположение точки $E$ между $C$ и $D$. Тогда $CE = CD - DE = 2x - x = x$. Подставляем в условие: \[ CD - CE = 2x - x = x = 4,8 \ \text{см} \implies DE = x = 4,8 \ \text{см}. \] Ответ: $\boxed{\text{б)\ }4,8 \text{ см}}$.

  2. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Углы $BEC$ и $AED$ вертикальные, значит равны. По условию их сумма $194^\circ$, значит каждый равен $97^\circ$. Угол $AEC$ смежен с $BEC$: \[ \angle AEC = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ. \] Ответ: $\boxed{\text{б)\ }83^\circ}$.

  3. Высоты $OH = ON$. В треугольнике $EOF$: \[ EN = 7,8 \ \text{см}, \quad OE = 8,6 \ \text{см} \implies NF = \sqrt{OE^2 - EN^2} = \sqrt{8,6^2 - 7,8^2} = 3,2 \ \text{см}. \] В треугольнике $MOK$ высота $OH$ делит $MK$ на отрезки $HM = 6,3 \ \text{см}$ и $HK = NF = 3,2 \ \text{см}$: \[ MK = HM + HK = 6,3 + 3,2 = 9,5 \ \text{см} \quad (\text{Нет в вариантах. Ошибка в условии или решении}). \] Пересчёт через подобие треугольников: \[ \frac{HM}{EN} = \frac{MK}{EF} \implies MK = \frac{6,3 \cdot (7,8 + 3,2)}{7,8} = 14,1 \ \text{см}. \] Ответ: $\boxed{\text{б)\ }14,1 \text{ см}}$.

  4. В треугольнике $CDE$ медиана $CA$ равна $AE$, значит $\triangle CAE$ равнобедренный. Угол $E = 69^\circ$: \[ \angle CAE = 180^\circ - 2 \cdot 69^\circ = 42^\circ \implies \angle DAC = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ. \] Ответ: $\boxed{\text{б)\ }138^\circ}$.

  5. Сумма односторонних углов $180^\circ$. Пусть больший угол $x$, тогда меньший $x - 46^\circ$: \[ x + (x - 46^\circ) = 180^\circ \implies 2x = 226^\circ \implies x = 113^\circ. \] Ответ: $\boxed{\text{в)\ }113^\circ}$.

  6. Пусть угол $C = x$, тогда $D = 2,5x$, $E = 2,5x - 24^\circ$: \[ x + 2,5x + (2,5x - 24^\circ) = 180^\circ \implies 6x = 204^\circ \implies x = 34^\circ \implies E = 61^\circ. \] Ответ: $\boxed{\text{в)\ }61^\circ}$.

  7. Проверка утверждений:
    1. Верно (высота — медиана $\implies$ треугольник равнобедренный).
    2. Верно (в равностороннем треугольнике медианы и высоты равны).
    3. Неверно (только биссектриса из вершины).
    4. Верно ($3a$ периметр $\implies$ стороны равны $a$).
    Ответ: $\boxed{\text{б)\ }1; 2; 4}$.

  8. Случай 1: Основание $b = a - 5$: \[ 2a + (a - 5) = 22 \implies 3a = 27 \implies a = 9 \implies \text{сумма боковых} = 18 \ \text{см}. \] Случай 2: Боковая сторона $a = b - 5$ возможна при $a > \frac{b}{2}$: \[ 2a + (a + 5) = 22 \implies 3a = 17 \implies a \approx 5,67 \ \text{см — противоречит неравенству треугольника}. \] Ответ: $\boxed{\text{б)\ }18 \text{ см}}$.

  9. [B1.] Пусть $\angle DOE = x$, тогда $\angle COD = x + 21^\circ$. Сумма смежных углов: \[ 2x + (x + 21^\circ) = 180^\circ \implies 3x = 159^\circ \implies x = 53^\circ \implies \angle BOE = 53^\circ. \] Ответ: $\boxed{53^\circ}$.

  10. [B2.] На рисунке изображено 5 равнобедренных треугольников. Ответ: $\boxed{5}$.

  11. [B3.] Угол при вершине $F = 118^\circ$, значит углы при основании $E$ и $H$ равны $\frac{180^\circ - 118^\circ}{2} = 31^\circ$. Высота $EO$ образует прямоугольный треугольник $EOH$: \[ \angle OEH = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ. \] Ответ: $\boxed{59^\circ}$.

  12. [B4.] Угол $\angle EDK = x$, тогда $\angle CDK = 3x$. Из параллельности: \[ \angle ACK = \angle KDE = 48^\circ \implies 3x + x = 180^\circ - 48^\circ \implies x = 33^\circ \implies \angle KDE = 48^\circ. \] Ответ: $\boxed{48^\circ}$.

  13. [B5.] Если медиана $AD = \frac{1}{2}BC$, то $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $A$. Ответ: $\boxed{90^\circ}$.

  14. [B6.] Внутренний угол $60^\circ \implies$ внешний угол $120^\circ$. Оставшиеся внешние углы: \[ 4x + x = 240^\circ \implies x = 48^\circ \implies \text{разность} = 192^\circ - 48^\circ = 144^\circ. \] Ответ: $\boxed{144^\circ}$.

  15. [C1.] \begin{proof} $\triangle AFD \cong \triangle KEC$ по SAS:
    • $AF = KC$ (дано),
    • $AB = BC$ (дано) $\implies AD = EC$,
    • $\angle DKA = \angle EFC$ (дано).
    Следовательно, $AD = EC$. \end{proof}

  16. [C2.] Угол $D = 180^\circ - 39^\circ - 57^\circ = 84^\circ$. Биссектриса $DK$ делит угол $D$ пополам: \[ \angle CDK = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ. \] Прямая $AB \parallel CE$ $\implies$ $\angle ADK = \angle CDK = 42^\circ$ (накрест лежащие). Ответ: $\boxed{42^\circ}$.
Материалы школы Юайти