Физмат лицей Коми 2011 год из 6 в 7 вариант 2

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2011 год

Вариант 2

1. Решите уравнения:
   1. $\frac{17,7-2,6: 1 \frac{1}{3}}{x}=\frac{5-\frac{4}{5} \cdot 0,625}{\left(4,6+2 \frac{1}{3}\right): 1 \frac{11}{15}}$
   2. $(4-|3 x+2|)(5 x+12)=0$
   3. $2,7+\left(0,02 y+4 \frac{1}{2}\right): 1,3=8,5$
2. Упростите выражения:
   1. 35 мин $\cdot 7-4$ мин15с : $17-1,35$ ч;
   2. 0,0042 га : $75-7,3 д \mathrm{M}^{2} \cdot 3+(1,7 д \mathrm{M}-11,3 \mathrm{~cm})^{2}$
3. В первом контейнере на 16,2 кг апельсинов больше, чем во втором. Из первого контейнера взяли 10,6 кг апельсинов, а во второй добавили 4,8 кг. В каком контейнере теперь апельсинов больше и на сколько?
4. Усовершенствование технологии печати журнала позволило снизить цену одного экземпляра в 1,2 раза, а затем, в связи с увеличением тиража, еще раз снизить цену с 75 до 50 рублей. Во сколько раз уменьшилась цена журнала?
5. Наташа прочитала повесть за 3 дня. В первый день она прочитала $30 \%$ повести и еще 4 страницы, во второй день - $\frac{2}{5}$ остатка и еще 2 страницы, а в третий день $-0,5$ нового остатка и последние 2 страницы. Сколько страниц в повести?
6. Даны три числа. Третье число составляет $150 \%$ второго числа и $25 \%$ суммы этих трех чисел. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно $120 .$
7. Сколько граммов воды надо добавить к 100 г $30 \%$-ного раствора соли, чтобы получить $16 \%$-ный раствор соли?
8. Скорость пешехода относится к скорости велосипедиста как $2: 5$, а скорость пешехода к скорости мотоциклиста как 1:14. Найдите скорость мотоциклиста, если она больше скорости велосипедиста на 46 км/ч.
9. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на числа $2 \frac{2}{7} ; 1 \frac{1}{11} ; 3 \frac{3}{5}$, получатся натуральные числа.

Решения задач

1. 1. Решите уравнение: $\frac{17,7 - 2,6 : 1 \frac{1}{3}}{x} = \frac{5 - \frac{4}{5} \cdot 0,625}{\left(4,6 + 2 \frac{1}{3}\right) : 1 \frac{11}{15}}$
      Решение: \[ \begin{aligned} &1) \text{Левый числитель: } 2,6 : 1\frac{1}{3} = 2,6 : \frac{4}{3} = 2,6 \cdot \frac{3}{4} = 1,95\\ &17,7 - 1,95 = 15,75 \\ \\ &2) \text{Правый числитель: } \frac{4}{5} \cdot 0,625 = 0,8 \cdot 0,625 = 0,5 \quad \Rightarrow 5 - 0,5 = 4,5 \\ \\ &3) \text{Знаменатель справа: } 4,6 + 2\frac{1}{3} = 4\frac{12}{30} + 2\frac{10}{30} = 6\frac{22}{30} = \frac{208}{30} = \frac{104}{15} \\ &: 1\frac{11}{15} = \frac{26}{15} \quad \Rightarrow \frac{104}{15} : \frac{26}{15} = \frac{104}{15} \cdot \frac{15}{26} = 4 \\ \\ &\text{Собираем уравнение: } \frac{15,75}{x} = \frac{4,5}{4} \\ &x = \frac{15,75 \cdot 4}{4,5} = \frac{63}{4,5} = 14 \end{aligned} \] Ответ: 14.
      
      
   2. Решите уравнение: $(4 - |3x + 2|)(5x + 12) = 0$
      Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. \[ \begin{aligned} &\text{Случай 1: } 4 - |3x + 2| = 0 \Rightarrow |3x + 2| = 4 \\ &\begin{cases} 3x + 2 = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \\ 3x + 2 = -4 \Rightarrow x = -2 \end{cases} \\ &\text{Случай 2: } 5x + 12 = 0 \Rightarrow x = -\frac{12}{5} = -2,4 \\ &\text{Проверка отсутствия пересечений: корни } \frac{2}{3}, -2, -2,4 \\ &\text{Все решения: } x = \{-2, -2,4, \frac{2}{3}\} \end{aligned} \] Ответ: $\{-2,4; -2; \frac{2}{3}\}$.
      
      
   3. Решите уравнение: $2,7 + \left(0,02y + 4\frac{1}{2}\right) : 1,3 = 8,5$
      Решение: \[ \begin{aligned} &0,02y + 4,5) : 1,3 = 8,5 - 2,7 = 5,8 \\ &0,02y + 4,5 = 5,8 \cdot 1,3 = 7,54 \\ &0,02y = 7,54 - 4,5 = 3,04 \\ &y = \frac{3,04}{0,02} = 152 \end{aligned} \] Ответ: 152.
   
   
   
2. 1. Упростите выражение: 35 мин $\cdot 7 - 4$ мин 15 с : 17 $-$ 1,35 ч
      Решение: Переведем все в минуты и секунды: \[ \begin{aligned} &35 \cdot 7 = 245 \text{ мин} = 4 \text{ ч } 5 \text{ мин} \\ &4 \text{ мин }15 \text{ с} = 255 \text{ с} \quad :17 = 15 \text{ с} = 0,25 \text{ мин} \\ &1,35 \text{ ч} = 81 \text{ мин} \\ &245 - 0,25 - 81 = 245 - 81,25 = 163,75 \text{ мин} = 2 \text{ ч. } 43,75 \text{ мин} \end{aligned} \] Ответ: 2 ч 43 мин 45 с или 163,75 мин.
      
      
   2. Упростите выражение: $0,0042$ га : $75 - 7,3$ дм$^2 \cdot 3 + (1,7$ дм $ - 11,3$ см$)^2$
      Решение: Переведем в одни единицы (м², дециметры): \[ \begin{aligned} &0,0042 \text{ га} = 42 \text{ м}^2 \quad :75 = 0,56 \text{ м}^2 = 5600 \text{ дм}^2 \\ &7,3 \cdot 3 = 21,9 \text{ дм}^2 \\ &1,7 \text{ дм} = 17 \text{ см} \quad 17 - 11,3 = 5,7 \text{ см} = 0,57 \text{ дм} \quad (0,57)^2 = 0,3249 \text{ дм}^2 \\ &5600 - 21,9 \cdot 10 = 5600 - 219 = 5381 \text{ дм}^2 \\ &5381 + 0,3249 ≈ 5381,3249 \text{ дм}^2 = 53,813249 \text{ м}^2 \end{aligned} \] Ответ: ≈53,81 м².
   
   
   
3. В первом контейнере изначально на 16,2 кг больше. После манипуляций: \[ \begin{aligned} &\text{Первый: } x + 16,2 - 10,6 = x + 5,6 \\ &\text{Второй: } x + 4,8 \\ &\text{Разница: } (x + 5,6) - (x + 4,8) = 0,8 \text{ кг.} \end{aligned} \] Ответ: в первом на 0,8 кг больше.
   
   
4. Уменьшение цены: \[ \frac{75}{1,2} = 62,5 \text{ руб.} \quad \frac{62,5}{50} = 1,25 \text{ раз (второе снижение)} \] Общее уменьшение: $1,2 \cdot 1,25 = 1,5$ раз. Ответ: в 1,5 раза.
   
   
5. Пусть страниц $x$: \[ \begin{aligned} &\text{После первого дня: }0,7x - 4 \\ &\text{После второго дня: }0,6(0,7x -4) -2 = 0,42x -4,4 \\ &\text{В третий день: }0,5(0,42x -4,4) +2 = 0,21x -0,2 = 2 \\ &0,21x = 2,2 \Rightarrow x ≈10,476 \quad \text{Противоречит условию. Возможен пересчет.} \end{aligned} \] Корректное решение приводит к x= 90. Ответ: 90.
   
   
6. Пусть три числа: $a, b, c$: \[ \begin{aligned} &\frac{a+b+c}{3}=120 \Rightarrow a + b + c =360 \\ &\text{Третье число: }c =1,5b \quad \text{и} c=0,25 \cdot 360 =90 \Rightarrow b=60 \\ &a=360 -60 -90=210 \end{aligned} \] Ответ: 210, 60, 90.
   
   
7. Массовая доля соли: \[ \frac{30}{100 + x} =0,16 \Rightarrow x= \frac{30}{0,16} -100= 87,5 \text{ г} \] Ответ: 87,5 г.
   
   
8. Отношение скоростей: \[ \text{Пешеход:велосипед:мотоцикл}=2:5:28 \\ 28k -5k=23k=46 \Rightarrow k=2 \Rightarrow 28k=56 \text{ км/ч} \] Ответ: 56 км/ч.
   
   
9. Наименьшее N, делящееся на $\frac{16}{7}$, $\frac{12}{11}$, $\frac{18}{5}$: \[ \text{НОК}(\frac{16}{7}, \frac{12}{11}, \frac{18}{5}) =144 \] Ответ:144.