Физмат лицей Коми 2010 год из 7 в 8 вариант 2-2

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ

2010 год

Вариант 2

1. Найдите значение выражения $(4 x+3 y)^{2}-(6 x-5 y)^{2}$ при $x=-3,5$ и $y=1,5 .$
2. Решите уравнение:
   1. $(3 x+5)^{2}-(3 x-4)(3 x+4)=11$;
   2. $\frac{3 x-1}{5}-\frac{1-2 x}{2}=x-\frac{1}{4}(1-3 x)$;
   3. $\frac{3}{4}-\left|3-\frac{1}{2} x\right|=0$.
3. Упростите выражение:
   1. $\left(-\frac{1}{9} a b^{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{3 b}{a^{2}}\right)^{4}$
   2. $\frac{2^{17} \cdot 5^{19}}{10^{18}}$.
4. Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} 3 u-v-1=4(2 u-v) \\ 0,2(6 u+v)+0,9=0,5(2 v+1) \end{array}\right. $$
5. Найдите значение $b$, при котором прямая $y=2 x+b$ проходит через точку $A(4 ; 3)$. Не выполняя построений, найдите точки пересечения этой прямой с осями координат. Проходит ли данная прямая через точку $B(-17,3 ;-39,4)$.
6. Цена товара сначала снизилась на $25 \%$, а затем повысилась на $30 \%$ и составила 7800 рублей. Какова была первоначальная цена товара?
7. Из города А в город В выехал автобус со скоростью 60 км/час. Через 1 час 24 минуты после отправления он сделал остановку на 18 минут. Чтобы прибыть в город В вовремя, он увеличил скорость на 10 км/час. Каково расстояние между городами А и В?

Решения задач

\newenvironment{compound}{\left[\begin{gathered}}{\end{gathered}\right.}

1. Найдите значение выражения $(4 x+3 y)^{2}-(6 x-5 y)^{2}$ при $x=-3,5$ и $y=1,5 .$
   Решение: Применим формулу разности квадратов:
   $(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$
   Подставим $a = 4x + 3y$, $b = 6x - 5y$:
   $(4x+3y-6x+5y)(4x+3y+6x-5y) = (-2x+8y)(10x-2y)$
   При $x = -3,5$ и $y = 1,5$:
   $-2(-3,5) + 8(1,5) = 7 + 12 = 19$
   $10(-3,5) - 2(1,5) = -35 - 3 = -38$
   $19 \cdot (-38) = -722$
   Ответ: $-722$.
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $(3 x+5)^{2}-(3 x-4)(3 x+4)=11$
      Решение:
      $9x² + 30x + 25 - (9x² - 16) = 11$
      $30x + 41 = 11 \implies 30x = -30 \implies x = -1$
      Ответ: $-1$.
      
      
   2. $\frac{3 x-1}{5}-\frac{1-2 x}{2}=x-\frac{1}{4}(1-3 x)$
      Решение: Умножим обе части на 20:
      $4(3x - 1) - 10(1 - 2x) = 20x - 5(1 - 3x)$
      $12x - 4 - 10 + 20x = 20x - 5 + 15x$
      $32x - 14 = 35x -5 \implies -3x =9 \implies x = -3$
      Ответ: $-3$.
      
      
   3. $\frac{3}{4}-\left|3-\frac{1}{2} x\right|=0$
      Решение:
      $\left|3 - \frac{1}{2}x\right| = \frac{3}{4}$
      $3 - \frac{1}{2}x = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad 3 - \frac{1}{2}x = -\frac{3}{4}$
      $-\frac{1}{2}x = -\frac{9}{4} \implies x = \frac{9}{2} =4,5$
      $-\frac{1}{2}x = -\frac{15}{4} \implies x =7,5$
      Ответ: $4,5$; $7,5$.
3. Упростите выражение:
   1. $\left(-\frac{1}{9} a b^{2}\right)^{2} \cdot\left(\frac{3 b}{a^{2}}\right)^{4}$
      Решение:
      $\frac{1}{81} a² b⁴ \cdot \frac{81 b⁴}{a⁸} = \frac{b⁸}{a⁶}$
      Ответ: $\frac{b⁸}{a⁶}$.
      
      
   2. $\frac{2^{17} \cdot 5^{19}}{10^{18}}$
      Решение:
      $\frac{2^{17} \cdot 5^{19}}{2^{18} \cdot 5^{18}} = \frac{5^{1}}{2^{1}} = \frac{5}{2} = 2,5$
      Ответ: $2,5$.
4. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{array}{l} 3 u-v-1=4(2 u-v) \\ 0,2(6 u+v)+0,9=0,5(2 v+1) \end{array}\right. $
   Решение: Первое уравнение:
   $3u - v -1 = 8u -4v \implies -5u +3v =1 \quad (1)$ Второе уравнение:
   $1,2u +0,2v +0,9 = v +0,5 \implies1,2u -0,8v =-0,4 \quad (2)$ Умножим (1) на 0,8 и (2) на 3:
   $-4u + 2,4v =0,8$ $3,6u -2,4v =-1,2$ Сложим: $-0,4u =-0,4 \implies u =1$; подставим в (1): $-5(1) +3v =1 \implies3v =6 \impliesv =2$
   Ответ: $(1; 2)$.
   
   
5. Найдите значение $b$, при котором прямая $y=2 x+b$ проходит через точку $A(4 ; 3)$. Не выполняя построений, найдите точки пересечения этой прямой с осями координат. Проходит ли данная прямая через точку $B(-17,3 ;-39,4)$.
   Решение:
   Подставим $A(4;3)$ в уравнение: $3 = 8 + b \implies b = -5$ Уравнение прямой: $y=2x -5$. С осью $OX$: $y=0 \implies 2x -5 =0 \implies x=2,5 \implies (2,5;0)$. С осью $OY$: $x=0 \implies y=-5 \implies (0;-5)$. Проверка точки $B$: $-39,4 =2(-17,3) -5 =-34,6 -5=-39,6 \ne-39,4 \implies$ не проходит.
   Ответ: $b=-5$, пересечения $(2,5;0)$ и $(0;-5)$, точка $B$ не принадлежит.
   
   
6. Цена товара сначала снизилась на $25 \%$, а затем повысилась на $30 \%$ и составила 7800 рублей. Какова была первоначальная цена товара?
   Решение:
   Пусть первоначальная цена $x$. После снижения: $0,75x$ После повышения: $0,75x \cdot1,3 =0,975x =7800$ $x=7800 /0,975 =8000$
   Ответ: 8000 рублей.
   
   
7. Из города А в город В выехал автобус со скоростью 60 км/час. Через 1 час 24 минуты после отправления он сделал остановку на 18 минут. Чтобы прибыть в город В вовремя, он увеличил скорость на 10 км/час. Каково расстояние между городами А и В?
   Решение:
   Пусть расстояние $S$ км. Первая часть пути: $60 \cdot1,4 =84$ км (1 час 24 мин =1,4 ч). Оставшееся расстояние: $S -84$ км. Плановое время: $S/60$ ч. Задержка: $1,4 +0,3=1,7$ ч. Оставшееся время: $S/60 -1,7$ ч. Уравнение: $(S -84)/70 = S/60 -1,7$ Умножим на 420: $6(S-84)=7S -714 \implies S=210$
   Ответ: 210 км.