8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Физмат лицей Коми 2010 год из 7 в 8 вариант 2-1

Сложность:
Дата экзамена: 2010
Сложность:
Дата экзамена: 2010
youit.school ©

ФИЗ-МАТ ЛИЦЕЙ, Г.КОМИ


2010 год


Вариант 1



  1. Найдите значение выражения $(5 x+7 y)^{2}-(3 x-5 y)^{2}$ при $x=2,5$ и $y=-1,5 .$
  2. Решите уравнение:
    1. $(7-x)^{2}-(x-8)(x+8)=43$;
    2. $\frac{5 x-4}{2}-\frac{2 x+1}{3}=-\frac{1}{5}(x-29)$;
    3. $\frac{1}{6}-\left|2-\frac{1}{3} x\right|=0$.
  3. Упростите выражение:
    1. $\left(-\frac{8 p}{q^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1}{4} p^{2} q\right)^{3}$
    2. $\frac{3^{16} \cdot 2^{14}}{6^{15}}$.
  4. Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} 0,5-3 m=2,5(m-3 n)-3 \\ 19+9 n=3(m+6 n)+4 \end{array}\right. $$
  5. Найдите значение $b$, при котором прямая $y=-3 x+b$ проходит через точку $A(3 ;-7)$. Не выполняя построений, найдите точки пересечения этой прямой с осями координат. Проходит ли данная прямая через точку $B(20,5 ;-58,5)$.
  6. Цена товара сначала повысилась на $20 \%$ а затем снизилась на $15 \%$ и составила 5100 рублей. Какова была первоначальная цена товара?
  7. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль со скоростью 80 км/час. Но спустя 45 минут ему пришлось снизить скорость на 10 км/час и поэтому он прибыл в пункт В на 15 минут позже, чем планировал. Чему равно расстояние между А и В?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения $(5 x+7 y)^{2}-(3 x-5 y)^{2}$ при $x=2,5$ и $y=-1,5 .$
    Решение: Упростим выражение, используя разность квадратов:
    $(5x +7y)^2 - (3x -5y)^2 = (5x +7y -3x +5y)(5x +7y +3x -5y) = (2x +12y)(8x +2y)$
    Подставим значения:
    $x = 2,5$, $y = -1,5$
    $2x = 5$, $12y = -18$ ⇒ Первая скобка: $5 -18 = -13$
    $8x = 20$, $2y = -3$ ⇒ Вторая скобка: $20 -3 = 17$
    Произведение: $-13 \cdot 17 = -221$
    Ответ: -221.

  2. Решите уравнение:
    1. $(7-x)^{2}-(x-8)(x+8)=43$
      Решение:
      Раскроем квадраты: $(49 -14x +x^2) - (x^2 -64) = 43$
      Упростим: $49 -14x +x^2 -x^2 +64 = 43$
      $113 -14x = 43$
      $-14x = 43 -113 = -70$
      $x = \frac{-70}{-14} = 5$
      Ответ: 5.

    2. $\frac{5 x-4}{2}-\frac{2 x+1}{3}=-\frac{1}{5}(x-29)$
      Решение: Умножим обе части на 30 (НОК знаменателей 2, 3, 5):
      $15(5x -4) -10(2x +1) = -6(x -29)$
      Раскроем скобки:
      $75x -60 -20x -10 = -6x +174$
      Упростим: $55x -70 = -6x +174$
      $61x = 244 ⇒ x = 4$
      Ответ: 4.

    3. $\frac{1}{6}-\left|2-\frac{1}{3} x\right|=0$
      Решение: $\left|2-\frac{x}{3}\right| = \frac{1}{6}$
      Раскроем модуль:
      1) $2 - \frac{x}{3} = \frac{1}{6}$ ⇒ $\frac{x}{3} = 2 - \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$ ⇒ $x = \frac{11}{6} \cdot 3 = \frac{11}{2} = 5,5$
      2) $2 - \frac{x}{3} = -\frac{1}{6}$ ⇒ $\frac{x}{3} = 2 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$ ⇒ $x = \frac{13}{6} \cdot 3 = 6,5$
      Ответ: 5,5; 6,5.


  3. Упростите выражение:
    1. $\left(-\frac{8 p}{q^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1}{4} p^{2} q\right)^{3}$
      Решение: Возведем каждую часть в степень:
      $\frac{64 p^2}{q^6} \cdot \frac{p^6 q^3}{64} = \frac{64 p^2}{q^6} \cdot \frac{p^6 q^3}{64} = \frac{p^8}{q^3}$
      Ответ: $\frac{p^8}{q^3}$.

    2. $\frac{3^{16} \cdot 2^{14}}{6^{15}}$
      Решение: Представим $6^{15} = (3 \cdot 2)^{15} = 3^{15} \cdot 2^{15}$:
      $\frac{3^{16} \cdot 2^{14}}{3^{15} \cdot 2^{15}} = 3^{1} \cdot 2^{-1} = \frac{3}{2}$
      Ответ: $\frac{3}{2}$.


  4. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{array}{l} 0,5-3 m=2,5(m-3 n)-3 \\ 19+9 n=3(m+6 n)+4 \end{array}\right. $ Решение: Приведем уравнения к стандартному виду:
    1 уравнение: $0,5 -3m = 2,5m -7,5n -3$
    $ -3m -2,5m +7,5n = -3 -0,5 $
    $-5,5m +7,5n = -3,5$ ×2 → $-11m +15n = -7$
    2 уравнение: $19 +9n = 3m +18n +4$
    $-3m -9n = 4 -19$
    $-3m -9n = -15$ → $m +3n = 5$
    Решаем систему:
    $\begin{cases} -11m +15n = -7 \\ m = 5 -3n \end{cases}$
    Подставим второе уравнение в первое:
    $-11(5 -3n) +15n = -7$
    $-55 +33n +15n = -7$
    $48n = 48 ⇒ n = 1$
    Тогда $m = 5 -3*1 = 2$
    Ответ: $(m=2; n=1)$.

  5. Найдите значение $b$, при котором прямая $y=-3 x+b$ проходит через точку $A(3 ;-7)$. Не выполняя построений, найдите точки пересечения этой прямой с осями координат. Проходит ли данная прямая через точку $B(20,5 ;-58,5)$.
    Решение: Подставим координаты точки А:
    $-7 = -3*3 + b ⇒ b = -7 +9 = 2$
    Уравнение прямой: $y = -3x +2$
    Пересечение с осью Y: $(0; 2)$ (при $x=0$)
    Пересечение с осью X: $0 = -3x +2 ⇒ x = \frac{2}{3}$ ⇒ $(\frac{2}{3}; 0)$
    Проверка точки B: $y = -3*20,5 +2 = -61,5 +2 = -59,5 ≠ -58,5$
    Ответ: $b=2$; точки пересечения $(0;2)$ и $(\frac{2}{3};0)$; не проходит через B.

  6. Цена товара сначала повысилась на $20 \%$ а затем снизилась на $15 \%$ и составила 5100 рублей. Какова была первоначальная цена товара?
    Решение: Пусть первоначальная цена — $x$ руб.
    После повышения: $1,2x$
    После снижения: $1,2x \cdot 0,85 = 1,02x$
    Уравнение: $1,02x = 5100 ⇒ x = 5100 :1,02 = 5000$
    Ответ: 5000 руб.

  7. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль со скоростью 80 км/час. Но спустя 45 минут ему пришлось снизить скорость на 10 км/час и поэтому он прибыл в пункт В на 15 минут позже, чем планировал. Чему равно расстояние между А и В?
    Решение: Пусть расстояние S км.
    По плану время: $\frac{S}{80}$ часов.
    Фактическое время: Первые 0,75 часа (45 мин) пройдено: $80 \cdot 0,75 = 60$ км.
    Осталось: $S -60$ км со скоростью 70 км/ч: время $\frac{S-60}{70}$ часов.
    Разница времени: $\left(0,75 + \frac{S-60}{70}\right) - \frac{S}{80} = \frac{15+45}{60} = 0,5$ часа (30 мин опоздания).
    Составляем уравнение:
    $ 0,75 + \frac{S-60}{70} = \frac{S}{80} + 0,5 $
    Умножим обе части на 560 (НОК 70 и 80):
    $0,75*560 + 8(S-60) = 7S +0,5*560$
    $420 +8S -480 =7S +280$
    $8S -60 =7S +280$
    $S = 340$ км.
    Ответ: 340 км.
Материалы школы Юайти