Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 9

1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\%$ и $40\%$. На сколько килограммов больше нужно взять стали с содержанием $40\%$ никеля, чтобы получить $140$ кг стали с содержанием $30\%$ никеля?
2. Решить уравнение \[ (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 105. \]
3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота, опущенная на основание $AC$, равна $10$ см, а высота $CD$, опущенная на боковую сторону, равна $12$ см. Найти площадь треугольника $ACD$.
4. Найти все значения $a$, при которых неравенство \[ x^2 + 2(a + 1)x + 3a + 13 > 0 \] выполняется для любых $x \le -1$.
5. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы \[ \begin{cases} \lvert y - x\rvert \le 3,\\ 3 \le x + y \le 7. \end{cases} \]

Решения задач

1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\%$ и $40\%$. На сколько килограммов больше нужно взять стали с содержанием $40\%$ никеля, чтобы получить $140$ кг стали с содержанием $30\%$ никеля?
   Решение: Пусть масса стали с $40\%$ никеля равна $x$ кг, тогда стали с $5\%$ никеля будет $(140 - x)$ кг. Составим уравнение по содержанию никеля:
   $0,4x + 0,05(140 - x) = 0,3 \cdot 140$
   $0,4x + 7 - 0,05x = 42$
   $0,35x = 35 \quad \Rightarrow \quad x = 100$ кг
   Масса стали с $40\%$ никеля — 100 кг, с $5\%$ — $140 - 100 = 40$ кг. Разница:
   $100 - 40 = 60$ кг
   Ответ: 60.
2. Решить уравнение \[ (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 105. \]
   Решение: Сгруппируем множители:
   $(x-1)(x+5) \cdot (x+1)(x+3) = 105$
   $(x^2 + 4x - 5)(x^2 + 4x + 3) = 105$
   Замена $y = x^2 + 4x$:
   $(y - 5)(y + 3) = 105 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 2y - 120 = 0$
   Корни: $y = 12$ или $y = -10$
   Возвращаемся к $x$:
   \begin{compound} x^2 + 4x = 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$ или $x = -6 \\ x^2 + 4x = -10 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 10 = 0 \quad (D < 0, \text{нет корней}) \end{compound}
   Ответ: $2$, $-6$.
3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота, опущенная на основание $AC$, равна $10$ см, а высота $CD$, опущенная на боковую сторону, равна $12$ см. Найти площадь треугольника $ACD$.
   Решение: Пусть $AB = BC$, $BH = 10$ см — высота на основание $AC$. Площадь $\triangle ABC$:
   $S_{ABC} = \frac{AC \cdot 10}{2} = 5AC$
   Также площадь можно выразить через боковую сторону $AB$ и высоту $CD$:
   $S_{ABC} = \frac{AB \cdot 12}{2} = 6AB$
   Приравниваем: $5AC = 6AB \quad \Rightarrow \quad AC = \frac{6}{5}AB$
   По теореме Пифагора в $\triangle ABH$:
   $\left(\frac{AC}{2}\right)^2 + BH^2 = AB^2 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{6AB}{10}\right)^2 + 100 = AB^2$
   $\frac{9AB^2}{25} + 100 = AB^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{16AB^2}{25} = 100 \quad \Rightarrow \quad AB = 12,5$ см
   Тогда $AC = \frac{6}{5} \cdot 12,5 = 15$ см
   Площадь $\triangle ACD$:
   $S_{ACD} = \frac{AC \cdot CD}{2} = \frac{15 \cdot 12}{2} = 90$ см$^2$
   Ответ: 90 см$^2$.
4. Найти все значения $a$, при которых неравенство \[ x^2 + 2(a + 1)x + 3a + 13 > 0 \] выполняется для любых $x \le -1$.
   Решение: Квадратичная функция $f(x) = x^2 + 2(a+1)x + 3a +13$ должна быть положительна при $x \le -1$. Вершина параболы:
   $x_0 = -\frac{2(a+1)}{2} = -(a+1)$
   Рассмотрим два случая:
   1. $x_0 \ge -1$ ($a \le 0$): проверяем значение в точке $x = -1$:
   $f(-1) = 1 - 2(a+1) + 3a +13 = a +12 > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -12$
   2. $x_0 0$): функция возрастает на луче $x \le -1$, минимальное значение при $x \to -\infty$ стремится к $+\infty$ (ветви вверх)
   Объединяя условия:
   $a \in (-12; +\infty)$
   Ответ: $a \in (-12; +\infty)$.
5. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы \[ \begin{cases} \lvert y - x\rvert \le 3,\\ 3 \le x + y \le 7. \end{cases} \]
   Решение: Фигура ограничена четырьмя прямыми:
   $y = x \pm 3$, $x + y = 3$, $x + y = 7$
   Найдем точки пересечения:
   \begin{compound} y = x + 3 и x + y = 3: $x + (x + 3) = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0$, $y = 3$ — точка $(0,3)$ \\ y = x + 3 и x + y = 7: $x + (x + 3) = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 2$, $y = 5$ — точка $(2,5)$ \\ y = x - 3 и x + y = 3: $x + (x - 3) = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3$, $y = 0$ — точка $(3,0)$ \\ y = x - 3 и x + y = 7: $x + (x - 3) = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 5$, $y = 2$ — точка $(5,2)$ \end{compound}
   Вершины фигуры: $(0,3)$, $(2,5)$, $(5,2)$, $(3,0)$. Площадь вычисляем по формуле Гаусса:
   $\frac{1}{2} |0 \cdot 5 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - (3 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 0)| = \frac{1}{2} |0 + 4 + 0 + 9 - (6 + 25 + 6 + 0)| = \frac{1}{2} |13 - 37| = 12$
   Ответ: 12.