Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 7

1. Двое рабочих первого разряда и трое рабочих второго разряда выполнили некоторую работу за $8$ часов. Трое рабочих первого разряда и шестеро рабочих второго разряда выполняют эту работу за $4{,}8$ часа. За какое время выполнит эту работу один рабочий первого разряда и трое рабочих второго разряда?
2. Корни уравнения \[ 3x^2 + 7x + a = 0 \] удовлетворяют условию $3x_1 - 8x_2 = 15$. Найти $a$.
3. Упростить до числа выражение \[ \sqrt{3} - \sqrt{5}\,(3 + \sqrt{5})\,(\sqrt{10} - \sqrt{2}). \]
4. В прямой угол с вершиной в точке $B$ вписана окружность. Через центр окружности проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках $A$ и $C$. Найти радиус окружности, если $AB = 56$, $BC = 42$.
5. При каком значении $a$ уравнение \[ (x - 4)\,\sqrt{x^2 + 4x + 4} \;=\; a \] имеет два решения?

Решения задач

1. Пусть производительность рабочего первого разряда — $x$ работы в час, второго — $y$. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = \frac{1}{8} \\ 3x + 6y = \frac{1}{4,8} \end{cases} \] Упростим второе уравнение: $\frac{1}{4,8} = \frac{5}{24}$. Умножим первое уравнение на 2: \[ 4x + 6y = \frac{1}{4} \] Вычтем из второго уравнения: \[ (3x + 6y) - (4x + 6y) = \frac{5}{24} - \frac{1}{4} \Rightarrow -x = -\frac{1}{24} \Rightarrow x = \frac{1}{24} \] Подставим $x$ в первое уравнение: \[ 2 \cdot \frac{1}{24} + 3y = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{12} + 3y = \frac{3}{24} \Rightarrow 3y = \frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{24} \] Производительность бригады: $x + 3y = \frac{1}{24} + 3 \cdot \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. Время: $1 : \frac{1}{6} = 6$ часов. Ответ: 6 часов.
   
   
2. По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{7}{3} \\ x_1x_2 = \frac{a}{3} \end{cases} \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 3x_1 - 8x_2 = 15 \\ x_1 + x_2 = -\frac{7}{3} \end{cases} \] Выразим $x_1 = -\frac{7}{3} - x_2$ и подставим в первое уравнение: \[ 3\left(-\frac{7}{3} - x_2\right) - 8x_2 = 15 \Rightarrow -7 - 3x_2 - 8x_2 = 15 \Rightarrow -11x_2 = 22 \Rightarrow x_2 = -2 \] Тогда $x_1 = -\frac{7}{3} - (-2) = -\frac{1}{3}$. Находим $a$: \[ x_1x_2 = \frac{a}{3} \Rightarrow \left(-\frac{1}{3}\right)(-2) = \frac{a}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 2 \] Ответ: 2.
   
   
3. Раскроем скобки: \[ \sqrt{5}(3 + \sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} \cdot (3\sqrt{10} - 3\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{10}) \] Упростим: \[ \sqrt{5} \cdot (2\sqrt{10} - 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = \sqrt{5} \cdot (2\sqrt{10} + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{50} + 2\sqrt{10} = 10\sqrt{2} + 2\sqrt{10} \] Исходное выражение: \[ \sqrt{3} - (10\sqrt{2} + 2\sqrt{10}) = \sqrt{3} - 10\sqrt{2} - 2\sqrt{10} \] Ответ: $\sqrt{3} - 10\sqrt{2} - 2\sqrt{10}$ (требуется проверка условия упрощения до числа).
   
   
4. Радиус вписанной окружности в прямой угол: $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$. По теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{56^2 + 42^2} = 70 \] Тогда: \[ r = \frac{56 + 42 - 70}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] Ответ: 14.
   
   
5. Уравнение преобразуем: \[ (x - 4)|x + 2| = a \] Рассмотрим два случая:
   1. $x \geq -2$: $(x - 4)(x + 2) = a \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = a$
   2. $x < -2$: $(x - 4)(-x - 2) = a \Rightarrow -x^2 - 2x + 4x + 8 = a \Rightarrow -x^2 + 2x + 8 = a$
   Графики парабол пересекают горизонталь $y = a$ дважды при $a = -9$ (касание первой параболы) и $a = 9$ (касание второй). Между $-9$ и $9$ — четыре решения. Для двух решений нужно $a = -9$ или $a > 9$. Ответ: $a = -9$.