Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 6

1. Вычислить стороны равнобедренного треугольника \(ABC\), если высота, проведённая к основанию \(AC\), равна \(4\) см и радиус вписанного круга равен \(1,5\) см.
2. Упростить выражение \[ \frac{ a \,\Bigl(\displaystyle\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}}\Bigr)^{-1} \;+\; b \,\Bigl(\displaystyle\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}}\Bigr)^{-1} }{ \Bigl(\displaystyle\frac{a + \sqrt{ab}}{2ab}\Bigr)^{-1} \;+\; \Bigl(\displaystyle\frac{b + \sqrt{ab}}{2ab}\Bigr)^{-1} }, \quad \text{где }a>0,\;b>0. \]
3. Решить уравнение \[ (x^2 - 5x + 5)\,(x - 3) \;=\;\bigl|x - 3\bigr|. \] Указать сумму корней.
4. При каких значениях \(a\) корни уравнения \[ x^2 - 2x - a^2 - 2a = 0 \] не превосходят \(2\)?
5. Скорость лодки против течения реки на \(40\%\) меньше скорости по течению. Лодка прошла \(8\) км по течению реки и \(3\) км по озеру, затратив на весь путь \(47\) минут. Найти собственную скорость лодки.

Решения задач

1. Вычислить стороны равнобедренного треугольника \(ABC\), если высота, проведённая к основанию \(AC\), равна \(4\) см и радиус вписанного круга равен \(1,5\) см.
   Решение: Пусть \(AB = BC = x\), \(AC = 2y\). Высота \(BH = 4\) см делит основание пополам: \(AH = HC = y\). Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2y \cdot 4 = 4y \] Полупериметр: \[ p = \frac{2x + 2y}{2} = x + y \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} \Rightarrow 1,5 = \frac{4y}{x + y} \Rightarrow 4y = 1,5x + 1,5y \Rightarrow 2,5y = 1,5x \Rightarrow y = \frac{3}{5}x \] По теореме Пифагора для треугольника \(ABH\): \[ x^2 = y^2 + 4^2 \Rightarrow x^2 = \left(\frac{3}{5}x\right)^2 + 16 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{25}x^2 + 16 \Rightarrow \frac{16}{25}x^2 = 16 \Rightarrow x = 5 \text{ см} \] Тогда \(y = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\) см, \(AC = 2y = 6\) см.
   Ответ: \(AB = BC = 5\) см, \(AC = 6\) см.
   
   
2. Упростить выражение \[ \frac{ a \,\Bigl(\displaystyle\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}}\Bigr)^{-1} \;+\; b \,\Bigl(\displaystyle\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}}\Bigr)^{-1} }{ \Bigl(\displaystyle\frac{a + \sqrt{ab}}{2ab}\Bigr)^{-1} \;+\; \Bigl(\displaystyle\frac{b + \sqrt{ab}}{2ab}\Bigr)^{-1} } \] Решение: Упростим числитель: \[ a \cdot \frac{2b\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + b \cdot \frac{2a\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{2ab\sqrt{a} + 2ab\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = 2ab \] Упростим знаменатель: \[ \frac{2ab}{a + \sqrt{ab}} + \frac{2ab}{b + \sqrt{ab}} = 2ab \left(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}\right) = \frac{2ab}{\sqrt{ab}} \] Итоговое выражение: \[ \frac{2ab}{\frac{2ab}{\sqrt{ab}}} = \sqrt{ab} \] Ответ: \(\sqrt{ab}\).
   
   
3. Решить уравнение \[ (x^2 - 5x + 5)\,(x - 3) \;=\;\bigl|x - 3\bigr|. \] Решение: При \(x = 3\) уравнение выполняется. Рассмотрим \(x \neq 3\):
   • Для \(x > 3\): \(|x - 3| = x - 3\) \[ (x^2 - 5x + 5)(x - 3) = x - 3 \Rightarrow (x^2 - 5x + 4)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 4 \]
   • Для \(x < 3\): \(|x - 3| = 3 - x\) \[ (x^2 - 5x + 5)(x - 3) = 3 - x \Rightarrow (x^2 - 5x + 6)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \]
   Сумма корней: \(2 + 3 + 4 = 9\).
   Ответ: 9.
   
   
4. При каких значениях \(a\) корни уравнения \[ x^2 - 2x - a^2 - 2a = 0 \] не превосходят \(2\)?
   Решение: Корни уравнения: \[ x = 1 \pm \sqrt{a^2 + 2a + 1} = 1 \pm (a + 1) \] Условия: \[ \begin{cases} 1 + a + 1 \leq 2 \Rightarrow a \leq 0 \\ 1 - a - 1 \leq 2 \Rightarrow a \geq -2 \end{cases} \] Ответ: \(a \in [-2; 0]\).
   
   
5. Найти собственную скорость лодки, если скорость против течения на \(40\%\) меньше скорости по течению, а путь \(8\) км по течению и \(3\) км по озеру занял \(47\) минут.
   Решение: Пусть \(v\) — собственная скорость лодки (км/мин), \(u\) — скорость течения. Условие: \[ v - u = 0,6(v + u) \Rightarrow v = 4u \] Время движения: \[ \frac{8}{v + u} + \frac{3}{v} = 47 \text{ мин} \Rightarrow \frac{8}{5u} + \frac{3}{4u} = 47 \Rightarrow \frac{47}{20u} = 47 \Rightarrow u = \frac{1}{20} \text{ км/мин} \] Собственная скорость: \[ v = 4u = \frac{4}{20} \text{ км/мин} = 12 \text{ км/ч} \] Ответ: 12 км/ч.