Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 5

1. Три положительных числа, дающие в сумме $21$, составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить $2$, $3$ и $9$, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
2. Решить систему \[ \begin{cases} x^2 - 5x \le 0,\\[6pt] \displaystyle \frac{x + 4}{x - 2} \le 2, \end{cases} \] указать наименьшее целое решение.
3. В равнобедренную трапецию с острым углом $30^\circ$ вписана окружность радиуса $2$ см. Найти площадь трапеции.
4. Найти наименьшее значение функции \[ y = \bigl|x - 7\bigr| + \sqrt{x^2 + 4x + 4} + x. \]
5. Упростить выражение \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a} - 2}{a + 2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a}}\Bigr)^{\!\frac{3}{2}} + \frac{8}{a + 4} - \frac{8}{a - 4}. \]

Решения задач

1. Три положительных числа, дающие в сумме $21$, составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить $2$, $3$ и $9$, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
   Решение: Пусть числа образуют арифметическую прогрессию: $a - d$, $a$, $a + d$. Их сумма:
   $(a - d) + a + (a + d) = 3a = 21 \Rightarrow a = 7$.
   После прибавления получаем числа: $9 - d$, $10$, $16 + d$. По условию это геометрическая прогрессия:
   $10^2 = (9 - d)(16 + d) \Rightarrow 100 = 144 + 9d - 16d - d^2 \Rightarrow d^2 + 7d - 44 = 0$.
   Дискриминант: $D = 49 + 176 = 225 \Rightarrow d = \frac{-7 \pm 15}{2}$. Положительный корень: $d = 4$.
   Исходные числа: $7 - 4 = 3$, $7$, $7 + 4 = 11$.
   Проверка: после прибавления $5$, $10$, $20$ — геометрическая прогрессия с $q = 2$.
   Ответ: 3, 7, 11.
2. Решить систему \[ \begin{cases} x^2 - 5x \le 0,\\[6pt] \displaystyle \frac{x + 4}{x - 2} \le 2, \end{cases} \] указать наименьшее целое решение.
   Решение:
   1. Первое неравенство: $x(x - 5) \le 0 \Rightarrow x \in [0; 5]$.
   2. Второе неравенство: $\frac{x + 4}{x - 2} - 2 \le 0 \Rightarrow \frac{-x + 8}{x - 2} \le 0$.
      Метод интервалов: нули числителя $x = 8$, знаменателя $x = 2$. Решение: $x \in (-\infty; 2) \cup [8; +\infty)$.
   Пересечение решений: $x \in [0; 2)$. Наименьшее целое решение: $0$.
   Ответ: 0.
3. В равнобедренную трапецию с острым углом $30^\circ$ вписана окружность радиуса $2$ см. Найти площадь трапеции.
   Решение:
   • Высота трапеции равна диаметру окружности: $h = 2r = 4$ см.
   • Боковая сторона: $AB = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0,5} = 8$ см.
   • Сумма оснований: $AD + BC = 2AB = 16$ см (по свойству вписанной окружности).
   • Площадь: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{16}{2} \cdot 4 = 32$ см².
   Ответ: 32 см².
4. Найти наименьшее значение функции \[ y = \bigl|x - 7\bigr| + \sqrt{x^2 + 4x + 4} + x. \]
   Решение: Упростим выражение:
   $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = |x + 2|$.
   Рассмотрим случаи:
   1. $x \ge -2$: $y = |x - 7| + x + 2 + x = |x - 7| + 2x + 2$.
      • При $x \ge 7$: $y = 3x - 5 \Rightarrow$ минимум при $x = 7$: $16$.
      • При $-2 \le x < 7$: $y = -x + 7 + 2x + 2 = x + 9 \Rightarrow$ минимум при $x = -2$: $7$.
   2. $x < -2$: $y = |x - 7| -x - 2 + x = |x - 7| - 2 = 7 - x - 2 = 5 - x \Rightarrow$ минимум стремится к $+\infty$.
   Наименьшее значение: $7$.
   Ответ: 7.
5. Упростить выражение \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a} - 2}{a + 2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a}}\Bigr)^{\!\frac{3}{2}} + \frac{8}{a + 4} - \frac{8}{a - 4}. \]
   Решение:
   1. Упростим выражение в скобках:
      $\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 2)} + \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{4\sqrt{a}}{a(a - 4)}$.
   2. Возведем в степень $\frac{3}{2}$: $\left(\frac{4\sqrt{a}}{a(a - 4)}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{8a}{(a - 4)^3}$.
   3. Сложим с остальными слагаемыми:
      $\frac{8a}{(a - 4)^3} + \frac{8}{a + 4} - \frac{8}{a - 4} = 0$ (после приведения к общему знаменателю и упрощения).
   Ответ: 0.