Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 4

1. На сколько процентов увеличится дробь, если её числитель увеличить на $60\%$, а знаменатель уменьшить на $20\%$.
2. Удовлетворяет ли число \[ \bigl(\sqrt{3} - 2\bigr)\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \] неравенству \[ \lvert 2x - 9\rvert \le 7? \]
3. Решить уравнение \[ (4x^2 - 9)\,(x - 0,3) \;=\; (10x - 3)\,(x - 1,5)^2. \] Запишите сумму корней.
4. Боковая сторона равнобедренной трапеции с углом $135^\circ$ равна $4\sqrt{2}$. Найдите её площадь, если меньшее основание равно $8$ см.
5. При каких значениях $a$ уравнение \[ (a + 1)x^2 - (4a + 6)x + a + 9 = 0 \] имеет единственное решение?

Решения задач

1. На сколько процентов увеличится дробь, если её числитель увеличить на $60\%$, а знаменатель уменьшить на $20\%$.
   Решение: Пусть исходная дробь $\frac{a}{b}$. После изменений:
   Новый числитель: $a + 0,6a = 1,6a$
   Новый знаменатель: $b - 0,2b = 0,8b$
   Новая дробь: $\frac{1,6a}{0,8b} = 2 \cdot \frac{a}{b}$
   Увеличение в 2 раза соответствует росту на $100\%$.
   Ответ: 100\%.
   
   
2. Удовлетворяет ли число \[ \bigl(\sqrt{3} - 2\bigr)\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \] неравенству \[ \lvert 2x - 9\rvert \le 7? \] Решение: Упростим выражение:
   Заметим, что $7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$
   Тогда $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$
   Подставим в исходное выражение:
   $(\sqrt{3} - 2)(2 + \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$
   Проверим неравенство для $x = -1$:
   $|2 \cdot (-1) - 9| = |-11| = 11 > 7$
   Ответ: Нет.
   
   
3. Решить уравнение \[ (4x^2 - 9)\,(x - 0,3) \;=\; (10x - 3)\,(x - 1,5)^2. \] Запишите сумму корней.
   Решение: Преобразуем уравнение:
   $(2x - 3)(2x + 3)(x - 0,3) - (10x - 3)(x - 1,5)^2 = 0$
   Вынесем общий множитель $(x - 1,5)$:
   $(x - 1,5)[(2x + 3)(x - 0,3) - (10x - 3)(x - 1,5)] = 0$
   Раскроем скобки внутри скобок:
   $(2x + 3)(x - 0,3) = 2x^2 - 0,6x + 3x - 0,9 = 2x^2 + 2,4x - 0,9$
   $(10x - 3)(x - 1,5) = 10x^2 - 15x - 3x + 4,5 = 10x^2 - 18x + 4,5$
   Уравнение принимает вид:
   $(x - 1,5)(2x^2 + 2,4x - 0,9 - 10x^2 + 18x - 4,5) = 0$
   Упростим выражение в квадратных скобках:
   $-8x^2 + 20,4x - 5,4 = 0$ | умножим на 10:
   $-80x^2 + 204x - 54 = 0$ | разделим на (-2):
   $40x^2 - 102x + 27 = 0$
   Решим квадратное уравнение:
   $D = 102^2 - 4 \cdot 40 \cdot 27 = 10404 - 4320 = 6084 = 78^2$
   $x = \frac{102 \pm 78}{80} \Rightarrow x_1 = \frac{180}{80} = 2,25;\ x_2 = \frac{24}{80} = 0,3$
   Корни уравнения: $x = 1,5;\ 2,25;\ 0,3$
   Сумма корней: $1,5 + 2,25 + 0,3 = 4,05$
   Ответ: 4,05.
   
   
4. Боковая сторона равнобедренной трапеции с углом $135^\circ$ равна $4\sqrt{2}$. Найдите её площадь, если меньшее основание равно $8$ см.
   Решение: Угол $135^\circ$ при основании трапеции. Проведем высоты из вершин меньшего основания:
   Высота трапеции: $h = 4\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ см
   Проекция боковой стороны на основание: $4\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -4$ см
   Большее основание: $8 + 2 \cdot 4 = 16$ см
   Площадь трапеции: $S = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$ см$^2$
   Ответ: 48 см².
   
   
5. При каких значениях $a$ уравнение \[ (a + 1)x^2 - (4a + 6)x + a + 9 = 0 \] имеет единственное решение?
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) Коэффициент при $x^2$ равен нулю:
   $a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$
   Уравнение становится линейным: $2x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4$ — единственное решение.
   2) Квадратное уравнение с дискриминантом равным нулю:
   $D = (4a + 6)^2 - 4(a + 1)(a + 9) = 16a^2 + 48a + 36 - 4(a^2 + 10a + 9) = 12a^2 + 8a$
   $12a^2 + 8a = 0 \Rightarrow 4a(3a + 2) = 0 \Rightarrow a = 0$ или $a = -\frac{2}{3}$
   Проверка: При $a = 0$ и $a = -\frac{2}{3}$ коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
   Ответ: $a = -1;\ 0;\ -\frac{2}{3}$.