Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 3

1. Велосипедист, выезжающий из \(A\), должен приехать в \(B\) через 2 часа. Одновременно с ним из \(C\) выезжает другой велосипедист и, чтобы успеть приехать в пункт \(B\) вместе с первым, он должен проезжать каждый километр на одну минуту быстрее, чем первый, так как расстояние от \(C\) до \(B\) на 6 км больше расстояния от \(A\) до \(B\). Найти расстояние \(AB\).
2. Решить уравнение \[ \frac{3x}{x^2 + 4x + 3} = 1 - \frac{2x}{x^2 + 8x + 3}. \] Указать сумму корней.
3. Изобразить на координатной плоскости множество точек \((x; y)\), удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge r^2,\\ x + y \le 2r,\\ x \ge 0,\; y \ge 0. \end{cases} \] При каком значении \(r > 0\) площадь полученной фигуры равна \(8 - \pi\)?
4. Найти область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{-4x^2 + 4x + 3}{2x^2 - 7x + 3}}. \]
5. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит его высоту на отрезки \(5\) см и \(3\) см. Найти площадь треугольника.

Решения задач

1. Велосипедист, выезжающий из \(A\), должен приехать в \(B\) через 2 часа. Одновременно с ним из \(C\) выезжает другой велосипедист и, чтобы успеть приехать в пункт \(B\) вместе с первым, он должен проезжать каждый километр на одну минуту быстрее, чем первый, так как расстояние от \(C\) до \(B\) на 6 км больше расстояния от \(A\) до \(B\). Найти расстояние \(AB\).
   Решение: Пусть \(AB = x\) км. Тогда \(CB = x + 6\) км. Скорость первого велосипедиста \(\frac{x}{2}\) км/ч, второго — \(\frac{x + 6}{2}\) км/ч. Время на 1 км для первого: \(\frac{60}{x/2} = \frac{120}{x}\) мин, для второго: \(\frac{60}{(x + 6)/2} = \frac{120}{x + 6}\) мин. Разница времени: \[ \frac{120}{x} - \frac{120}{x + 6} = 1 \] Решая уравнение, получаем \(x^2 + 6x - 720 = 0\). Корни: \(x = 24\) (подходит) и \(x = -30\) (не подходит).
   Ответ: 24 км.
2. Решить уравнение \[ \frac{3x}{x^2 + 4x + 3} = 1 - \frac{2x}{x^2 + 8x + 3}. \] Указать сумму корней.
   Решение: Приводим к общему знаменателю \((x + 1)(x + 3)(x^2 + 8x + 3)\): \[ 3x(x^2 + 8x + 3) + 2x(x + 1)(x + 3) = (x + 1)(x + 3)(x^2 + 8x + 3) \] После упрощений получаем уравнение \(x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 21x + 9 = 0\). Сумма корней по теореме Виета: \(-7\). Проверка ОДЗ подтверждает допустимость всех корней.
   Ответ: \(-7\).
3. Изобразить на координатной плоскости множество точек \((x; y)\), удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge r^2,\\ x + y \le 2r,\\ x \ge 0,\; y \ge 0. \end{cases} \] При каком значении \(r > 0\) площадь полученной фигуры равна \(8 - \pi\)?
   Решение: Площадь фигуры — площадь треугольника \(0 \le x, y \le 2r\) минус четверть круга радиуса \(r\): \[ 2r^2 - \frac{\pi r^2}{4} = 8 - \pi \] Решая уравнение, находим \(r = 2\).
   Ответ: \(2\).
4. Найти область определения функции \[ y = \sqrt{\frac{-4x^2 + 4x + 3}{2x^2 - 7x + 3}}. \]
   Решение: Решаем неравенство \(\frac{-4x^2 + 4x + 3}{2x^2 - 7x + 3} \ge 0\). Разложив числитель и знаменатель на множители, получаем: \[ \frac{-2(x - 1,5)(x + 0,5)}{(x - 3)(x - 0,5)} \ge 0 \] Метод интервалов даёт \(x \in [-0,5; 0,5) \cup [1,5; 3)\).
   Ответ: \([-0,5; 0,5) \cup [1,5; 3)\).
5. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит его высоту на отрезки \(5\) см и \(3\) см. Найти площадь треугольника.
   Решение: Пусть высота \(BH = 8\) см. По теореме о биссектрисе \(\frac{AB}{AH} = \frac{BK}{KH} = \frac{5}{3}\). Из прямоугольного треугольника \(ABH\) находим \(AB = 10\) см, \(AH = 6\) см. Основание \(AC = 12\) см. Площадь: \[ \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2 \]
   Ответ: 48 см².